Teorema de Menelaus

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O teorema de Menelaus é util na resolução de problemas envolvendo triângulos e está relacionado com conjuntos de determinados pontos que são colineares, ou com conjuntos de segmentos que são concorrentes.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Considere um triângulo ABC e uma reta r que corte os lados AC, AB e BC nos pontos L, M e N, respectivamente.

Menelau 1.JPG

Traça-se as perpendiculares que saem dos vértices do triângulo ABC à reta r.

Menelau 2.JPG

Façamos semelhança de triângulos[1] .

BPM \sim AQM


\frac{MA}{MB} = \frac{h_2}{h_1}


NRC \sim NPB


\frac{NB}{NC} = \frac{h_1}{h_3}


RLC \sim ALQ


\frac{LC}{LA} = \frac{h_3}{h_2}


Multipliquemos as três equações:

\frac{MA}{MB} \cdot \frac{NB}{NC} \cdot \frac{LC}{LA} = \frac{h_2}{h_1} \cdot \frac{h_1}{h_3} \cdot \frac{h_3}{h_2}


Finalmente:

\frac{MA}{MB} \cdot \frac{NB}{NC} \cdot \frac{LC}{LA} = 1

Aplicação[editar | editar código-fonte]

No triângulo ABC, determine a razão \frac{EA}{EC}.

Menelau (exemplo)

Aplicando o teorema de Menelaus, temos:

\frac{FA}{FB} \cdot \frac{DB}{DC} \cdot \frac{EC}{EA} = 1


\frac{4}{1} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{EC}{EA} = 1


\frac{EC}{EA} = \frac{3}{20}


\frac{EA}{EC} = \frac{20}{3}

Menelau, o criador do teorema[editar | editar código-fonte]

Menelau, o criador do teorema.

Menelau nasceu em Alexandria, Egito por volta de 100 d.C foi astrônomo e geômetra, foi o primeiro a escrever a definição de triângulos esféricos, produziu um tratado sobre cordas num círculo, em seis livros, porém vários deles se perderam. Felizmente o seu tratado Sphaerica, em três livros, se preservou numa versão árabe e o trabalho mais antigo conhecido sobre trigonometria esférica. Menelau também continuou os trabalhos de Hiparco em trigonometria, mas demonstrou interessantíssimo teorema, que leva o seu nome. Ardente defensor da geometria clássica e criador do tradicional teorema de Menelau escreveram várias obras de trigonometria e geometria. Menelau morreu em lugar incerto, talvez na própria Alexandria.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Vinícius Paulo de Freitas. Dissertação de mestrado: Alguns teoremas clássicos da geometria sintética e aplicações. [S.l.: s.n.], 2012.