Teorema de Mordell-Weil

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O teorema de Mordell-Weil é um teorema matemático realizado por André Weil em 1928. Configura uma extensão a grupos abelianos em relação ao teorema de Mordell de 1922, este relacionado às curvas elípticas sobre \mathbb{Q}.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

O teorema de Mordell afirma que se E:=y^2=f(x) é uma curva elíptica racional não singular, isto é que f e df não tenham raízes comuns, então o grupo dos pontos racionais E(\mathbb{Q}) é um grupo abeliano finitamente gerado.

Isto quer dizer que este grupo vem a ser isomorfo ao produto r vezes \mathbb{Z} (a r se lhe conhece pelo conjunto imagem da curva) multiplicados por sua vez por uma certa quantidade de grupos finitos i.e. E(\mathbb{Q})\cong\overbrace{\mathbb{Z}\oplus...\oplus\mathbb{Z}}^{r\;\; vezes }\oplus\frac{\mathbb{Z}}{p_1^{\lambda_1}\mathbb{Z}}\oplus...\oplus\frac{\mathbb{Z}}{p_s^{\lambda_s}\mathbb{Z}}

Se a curva é singular, então este teorema não é aplicável, mas além disso é que se mostra falso, pois então o grupo E(\mathbb{Q}) vem a ser isomorfo a \mathbb{Q} com a soma ou \mathbb{Q}^* com a multiplicação, que não são finitamente gerados.