Teorema de Napoleão

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O triângulo [LMN] formado pelos centros dos triângulos equiláteros sobre os lados de [ABC] é equilátero.

O Teorema de Napoleão (geralmente atribuído a Napoleão Bonaparte, que o teria enunciado em 1787) consiste em projetar um triângulo qualquer e cada lado desse forme um triângulo eqüilátero, contudo marcando o baricentro de cada triângulo e juntando os pontos sempre se obterá um triângulo equilátero.

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Napoleão Bonaparte, além de grande soldado e hábil político, era um grande admirador da ciência e dos cientistas. Em particular, devotava grande interesse à Matemática. O que pouca gente sabe é que Napoleão é o descobridor de um belo Teorema de Geometria. Eis o enunciado do Teorema de Napoleão. “Tome um triângulo arbitrário. Com base em cada um de seus lados, construa (externamente) um triângulo eqüilátero. Os centros desses 3triângulos eqüiláteros são ainda vértices de um outro triângulo Equilátero, denominado triângulo de Napoleão”.

De posse dessas informações, julgue os itens seguintes:

I. Num triângulo de Napoleão ABC proveniente de um triângulo retângulo isósceles DEF de base EF, o ângulo A\widehat{E}C pode medir 105^\circ.

II. Ainda com relação ao item (I), se os lados iguais do triângulo DEF medirem 4\sqrt{3} então o Triângulo de Napoleão ABC terá seus lados medindo 2(\sqrt{6}+\sqrt{2}).