Teorema de Napoleão

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O triângulo [LMN] formado pelos centros dos triângulos equiláteros sobre os lados de [ABC] é equilátero.

O teorema de Napoleão (geralmente atribuído a Napoleão Bonaparte, que o teria enunciado em 1787) consiste em projetar um triângulo qualquer e cada lado desse forme um triângulo equilátero, contudo marcando o ortocentro de cada triângulo e juntando os pontos sempre se obterá um triângulo equilátero. A diferença na área desses dois triângulos é igual à área do triângulo original.

O teorema é frequentemente atribuído a Napoleão, mas especialistas sugerem que ele pode remontar à questão levantada em 1825 por William Rutherford, publicada em The Ladies' Diary, quatro anos após a morte do imperador francês,[1][2] mas o resultado está coberto em três questões colocadas em um exame para um Gold. Medalha na Universidade de Dublin em outubro de 1820, enquanto Napoleão morreu no mês de maio seguinte.

Provas[editar | editar código-fonte]

Na figura acima, ABC é o triângulo original. AZB, BXC e CYA são triângulos equiláteros construídos no exterior de seus lados e os pontos L, M e N são os centroides desses triângulos. O teorema dos triângulos externos indica que o triângulo LMN (verde) é equilátero.

Uma maneira rápida de ver que o triângulo LMN é equilateral é observar que MN se torna CZ sob uma rotação de 30 ° no sentido horário em torno de A e uma homocidade de razão √3 com o mesmo centro, e que LN também se torna CZ após uma rotação anti-horária de 30 ° em torno de B e uma homotitude de relação √3 com o mesmo centro. As respectivas similaridades espirais[3] são A (√3, -30 °) e B (√3,30 °). Isso implica que MN = LN e o ângulo entre eles deve ser de 60 °.[4]

Há, de fato, muitas provas da declaração do teorema, incluindo uma declaração trigonométrica,[5] baseada em simetria,[6] e provas usando números complexos.[5]

Histórico[editar | editar código-fonte]

O teorema tem sido frequentemente atribuído a Napoleão, mas vários artigos foram escritos sobre esta questão,[7][8] que lançou dúvidas sobre esta afirmação.[1]

A seguinte entrada apareceu na página 47 do The Ladies' Diary de 1825 (assim, no final de 1824, cerca de um ano depois da compilação dos exames de Dublin). Esta é uma aparição inicial do teorema de Napoleão de forma impressa, e é possível notar que o nome de Napoleão não é mencionado.

VII. Questão. (1439); pelo Sr. W. Rutherford, Woodburn.
"Descreva os triângulos equiláteros (os vértices sendo todos externos ou internos) nos três lados de qualquer triângulo ABC: então as linhas que unem os centros de gravidade desses três triângulos equiláteros constituirão um triângulo equilátero. É necessária uma demonstração."

Como William Rutherford era um matemático muito experiente, sua motivação para solicitar uma prova de um teorema que ele certamente poderia ter provado a si mesmo é desconhecido. Talvez ele tenha colocado a questão como um desafio para seus colegas, ou talvez ele esperasse que as respostas produzissem uma solução mais elegante. No entanto, fica claro, a partir da leitura de sucessivas edições do The Ladies Diary, na década de 1820, que o editor pretendia incluir um conjunto variado de perguntas a cada ano, com algumas adequadas para o exercício de iniciantes.

Claramente, não há referência a Napoleão tanto na pergunta quanto nas respostas publicadas, que apareceram um ano depois, em 1826, embora o Editor evidentemente omitisse algumas submissões. Também o próprio Rutherford não aparece entre os solucionadores nomeados após as soluções impressas, embora a partir do registro algumas páginas antes seja evidente que ele enviou uma solução, assim como vários de seus alunos e associados na Woodburn School, incluindo o primeiro das soluções publicadas.

De fato, o Grupo de Resolução de Problemas de Woodburn, como pode ser conhecido hoje, era suficientemente conhecido até então para ser escrito em Uma Visão Histórica, Geográfica e Descritiva do Condado de Northumberland ... (2ª ed. Vo. II, pp. 123-124). Pensou-se que a primeira referência conhecida a esse resultado como o teorema de Napoleão aparece na 17ª edição de Elementi di Geometria de Faifofer publicada em 1911, embora Faifofer realmente mencione Napoleão em edições anteriores. Mas isso é irrelevante, porque encontramos Napoleão mencionado por nome neste contexto em uma enciclopédia em 1867.

O que é de maior interesse histórico em relação a Faifofer é o problema que ele vinha usando em edições anteriores: um problema clássico em circunscrever o maior triângulo equilátero, sobre um determinado triângulo que Thomas Moss havia colocado no The Ladies’ Diaries em 1754, na solução pela qual William Bevil, no ano seguinte, poderíamos facilmente reconhecer o germe do Teorema de Napoleão - os dois resultados então correm juntos, indo e voltando pelo menos nos próximos cem anos nas páginas problemáticas dos almanaques populares: quando Honsberger propôs em Matemática Gemas, em 1973, o que ele pensava ser uma novidade própria, ele estava na verdade recapitulando parte dessa literatura vasta, embora informal.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b Grünbaum, Branko (2012). Is Napoleon's Theorem Really Napoleon's Theorem?. [S.l.: s.n.] pp. 495–501 
  2. W., Weisstein, Eric. «Napoleon's Theorem». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 24 de abril de 2018. 
  3. Eric W. Weisstein, Spiral Similarity em MathWorld
  4. For a visual demonstration see Napoleon's Theorem via Two Rotations at Cut-the-Knot.
  5. a b «Napoleon's Theorem». www.mathpages.com. Consultado em 24 de abril de 2018. 
  6. Alexander Bogomolny. «Proof #2 (an argument by symmetrization)». Cut-the-knot.org. Consultado em 6 de setembro de 2013. 
  7. Cavallaro, V.G. (1949), «Per la storia dei teoremi attribuiti a Napoleone Buonaparte e a Frank Morley», Archimede, 1: 286–287 
  8. Scriba, Christoph J (1981). «Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen?». Historia Mathematica. 8 (4): 458–459. doi:10.1016/0315-0860(81)90054-9 

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