Teorema de Pappus

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Hexágono XbCYcB cujos lados são formados pelas linhas Ab-bC-Ca-aB-Bc-cA. Se as linhas Xb,BC,&cY são concorrentes e se BX,cb,&YC são concorrentes, então as linhas Bc,XY,&bC devem ser também concorrentes, de acordo com o Teorema de Pappus.

O teorema de Pappus (atribuído a Pappus de Alexandria) afirma que dado um conjunto de pontos colineares A, B, C, e um outro conjunto de pontos lineares a, b, c, então os pontos de intersecção x, y, z dos pares de linha Ab e aB, Ac e aC, Bc e bC são colineares.

A dualidade desse teorema afirma que dado um conjunto de linhas concorrentes A, B, C, e um outro conjunto de linhas concorrentes a, b, c, então as linhas x, y, z definida pelos pares de pontos resultantes dos pares de intersecção Ab e aB, Ac e aC, Bc e bC são concorrentes.

A generalização deste teorema é o teorema de Pascal, que foi descoberto por Blaise Pascal, quando tinha 16 anos de idade.

Afirmação e prova do teorema de Pappus[editar | editar código-fonte]

Hexágono XbCYcB exemplo do Teorema de Pappus.

Vamos considerar seis linhas em um plano projetado: U, V, W, X, Y, e Z. Então o teorema pode ser expresso como:

Se

(1) os pontos equivalentes as intersecções de U com V, X com W, e Y com Z são colineares,

e se

(2) os pontos equivalentes as intersecções de U com Z, X com V, e Y com W são colineares, então

deve ser verdade que

(3) os pontos equivalentes a intersecções de U com W, X com Z, e Y com V são colineares.

Simbolicamente, o teorema de papus afirma o seguinte:

Se

e se

então

Prova[editar | editar código-fonte]

Sendo

Nós temos que demonstrar que se = 0 e = 0, então = 0.

Passo 1[editar | editar código-fonte]

Utilizando a identidade

podemos expressar , , e na seguinte forma equivalente:

Passo 2[editar | editar código-fonte]

Aplicando as propriedades

obtemos

e então

Passo 3[editar | editar código-fonte]

Usando a propriedade distributiva do produto escalar:

Passo 4[editar | editar código-fonte]

Com as identidades

Podemos permutar os termos como segue:

Passo 5[editar | editar código-fonte]

Agora podemos somar as equações para obter:

de onde segue que se = 0 e = 0, então = 0.

Ver também[editar | editar código-fonte]