Teorema de Stone-Weierstrass

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, o teorema da aproximação de Stone-Weierstrass afirma que toda função real contínua cujo domínio é um intervalo compacto, ou seja, fechado e limitado pode ser aproximado uniformemente por polinômios.

Várias generalizações deste teorema foram estabelecidas, como, por exemplo, generalizando a família de aproximantes (que podem ser substituídos por qualquer álgebra de funções com certas propriedades) ou substituindo o domínio por um compacto qualquer.


Demonstração da versão real[editar | editar código-fonte]

A versão real deste teorema admite uma demonstração construtiva simples usando os polinômios de Bernstein.

Seja uma função contínua. Então para todo , existe um polinômio tal que:

, ou seja: .

Dem.: Sem perda de generalidade, podemos supor e .

Primeiramente, estabeleçamos uma estimativa:

(Veja polinómios de Bernstein)

Como é uma função contínua em um compacto, é também uniformemente contínua. Logo existe tal que sempre que e e ainda existe uma constante tal que .

Agora, defina:

Como , vale que e vale a estimativa:

onde e .

E o resultado segue, escolhendo e .


Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.