Teorema de Vinogradov

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Em Teoria dos números, o teorema de Vinogradov mostra que qualquer número impar suficientemente grande pode ser representado como a soma de três números primos. É um teorema mais fraco que a conjectura fraca de Goldbach, segundo a qual diz que, está representação vale para todo impar maior que cinco. Foi nomeado após Ivan Vinogradov fazer sua demostração nos anos 30. O resultado do teorema proporciona limites assintóticos no números de representações de um número impar como uma soma de três primos.

Enunciado do Teorema de Vinogradov[editar | editar código-fonte]

Dado A um número real positivo. Então

r(N)={1\over 2}G(N)N^2+O\left(N^2\log^{-A}N\right),

onde

r(N)=\sum_{k_1+k_2+k_3=N}\Lambda(k_1)\Lambda(k_2)\Lambda(k_3),

usando a função de Mangoldt \Lambda, e

G(N)=\left(\prod_{p\mid N}\left(1-{1\over{\left(p-1\right)}^2}\right)\right)\left(\prod_{p\nmid N}\left(1+{1\over{\left(p-1\right)}^3}\right)\right).

Uma consequência[editar | editar código-fonte]

Se N é impar, entãro G(N) is aproximadamente 1, por tanto N^2=O\left(r(N)\right) para todo N suficientemente grande. Fica a mostrar que a contribuição das potências próprias de primos para r(N) é O\left(N^{3\over 2}\log^2N\right), se pode ver que :N^2\log^{-3}N=O\left(\hbox{k}\right), onde k é o número de formas em que N pode ser expressado como soma de três primos. Isto significa em particular que qualquer impar suficientemente grande pode ser expresso como uma soma de três primos, logo prova a conjectura fraca de Goldbach, exceto para número finito de casos.

Curiosidades[editar | editar código-fonte]

Embora Vinográdov não pôde determinar com exatidão o que significava "suficientemente grande", seu aluno K. Borodzin demonstrou que 314.348.907 é um cota superior para o conceito de "suficientemente grande". Este número têm 6,846,169 de dígitos, assim mostrar a conjectura em cada número menor que esta cota seria inviável com a tecnologia atual. Em 2002, Liu Ming-Chit (Universidade de Hong Kong) e Wang Tian-Ze abaixaram essa cota para aproximadamente n>e^{3100}\approx 2\times10^{1346}. O expoente continua muito grande para uma verificação computacional de todos os números menores. ( Pesquisas por computador têm apenas alcançado 10^{18} para a conjectura forte, e não mais que isso para a conjectura fraca).

Referências[editar | editar código-fonte]

  • I.M. Vinogradov. The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. New York: Interscience, 1954.
  • Melvyn B. Nathanson. Additive Number Theory: the Classical Bases. [S.l.]: Springer-Verlag, 1996. vol. 164. ISBN 0-387-94656-X Chapter 8.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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