Teorema de Wilson

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Em matemática, o teorema de Wilson diz que p é um número primo se e somente se:

.

Se P é primo então

P divide [(P-1)! + 1].

Todas as n-ésimas diferenças sucessivas da sequência 1^n, 2^n, 3^n, 4^n...

são constantes e iguais a n! (n fatorial).

Resolvendo algebricamente:

2*1 = 1*2^2 - 2*1^2 + 1*0^2

3*2*1 = 1*3^3 - 3*2^3 + 3*1^3 - 1*0^3

4*3*2*1 = 1*4^4 - 4*3^4 + 6*2^4 - 4*1^4 + 1*0^4

5*4*3*2*1 = 1*5^5 - 5*4^5 + 10*3^5 - 10*2^5 + 5*1^5 - 1*0^5

6*5*4*3*2*1 = 1*6^6 - 6*5^6 + 15*4^6 - 20*3^6 + 15*2^6 - 6*1^6 + 1*0^6.

O teorema foi estabelecido por Alhazen[1] e John Wilson.[2]

Prova[editar | editar código-fonte]

Se n é composto mas não é o quadrado de um primo podemos escrever com . Neste caso tanto quanto são fatores de e portanto . Se n = , , então e são fatores de e novamente  ; isto demonstra que para todo composto temos . Se é primo podemos escrever ; mas pelo lema anterior podemos juntar os inversos aos pares no produto do lado direito, donde .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Tabela de restos módulo n[editar | editar código-fonte]

n (n-1)! (n-1)! mod n
2 1 1
3 2 2
4 6 2
5 24 4
6 120 0
7 720 6
8 5040 0
9 40320 0
10 362880 0
11 3628800 10
12 39916800 0
13 479001600 12
14 6227020800 0
15 87178291200 0
16 1307674368000 0
17 20922789888000 16
18 355687428096000 0
19 6402373705728000 18
20 121645100408832000 0
21 2432902008176640000 0
22 51090942171709440000 0
23 1124000727777607680000 22
24 25852016738884976640000 0
25 620448401733239439360000 0
26 15511210043330985984000000 0
27 403291461126605635584000000 0
28 10888869450418352160768000000 0
29 304888344611713860501504000000 28
30 8841761993739701954543616000000 0

P=3[editar | editar código-fonte]

2*1 = 1*(2^2-1^2) - 1^2

2*1 + 1^2 = 1*(2^2 - 1^2)

pelo pequeno teorema do Fermat 3 divide (2*1 + 1^2)

P=5[editar | editar código-fonte]

4*3*2*1 = 1*(4^4 - 3^4) - 3*(3^4 - 2^4) + 3*(2^4 - 1^4) - 1^4

4*3*2*1 + 1^4 = 1*(4^4 - 3^4) - 3*(3^4 - 2^4) + 3*(2^4 - 1^4)

pelo pequeno teorema do Fermat 5 divide (4*3*2*1 + 1^4)

P=7[editar | editar código-fonte]

6*5*4*3*2*1 = 1*(6^6-5^6)-5*(5^6-4^6)+10*(4^6-3^6)-10(3^6-2^6)+5(2^6-1^6)-1^6

6*5*4*3*2*1 +1^6 = 1*(6^6-5^6)-5*(5^6-4^6)+10*(4^6-3^6)-10(3^6-2^6)+5(2^6-1^6)

pelo pequeno teorema do Fermat 7 divide (6*5*4*3*2*1 + 1^6)

O interessante é que existe uma crença de que o Teorema de Wilson percebe os pseudo-primos absolutos.

O teorema de Wilson é uma simples variação do Pequeno Teorema do Pierre de Fermat.

  1. Biografia em MacTutor (em inglês)
  2. Edward Waring, Meditationes Algebraicae (Cambridge, England: 1770), page 218 (in Latin). In the third (1782) edition of Waring's Mediationes Algebraicae, Wilson's theorem appears as problem 5 on page 380. On that page, Waring states: "Hanc maxime elegantem primorum numerorum proprietatem invenit vir clarissimus, rerumque mathematicarum peritissimus Joannes Wilson Armiger." (A man most illustrious and most skilled in mathematics, Squire John Wilson, found this most elegant property of prime numbers.)