Teorema de Stewart

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Em geometria, o teorema de Stewart produz uma relação entre o tamanho dos lados de um triângulo e o tamanho de uma ceviana do triângulo. Este nome é em honra do matemático escocês Matthew Stewart que publicou o teorema em 1746.[1]

Teorema[editar | editar código-fonte]

Sendo , , e os tamanhos dos lados do triângulo. Sendo a ceviana do lado . Se a ceviana divide o lado em dois segmentos de tamanho e , então o teorema de stewart diz que:

Diagram of Stewart's theorem

Prova[editar | editar código-fonte]

O teorema pode ser provado com a aplicação da lei dos cossenos:[2]

Se θ é o ângulo entre m e d, θ' o ângulo entre n e d. Então θ′ que é o suplemento de θ e cos θ′ = −cos θ. A lei dos cossenos entre θ e θ′ tras:

Multiplique a primeira equação por n, e a segunda por m, e elimine o cos θ, assim obtemos:

que é a equação que queriamos demonstrar.

O teorema tambêm pode ser provado pelo teorema de Pitágoras. [3]

Referências

  1. M. Stewart Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics (1746) "Proposition II"
  2. Follows Hutton & Gregory or, more closely, PlanetMath.
  3. This is a overview of the proof in Russell.