Teorema do confronto

Em cálculo, o Teorema do Enquadramento, também conhecido como o teorema do confronto, teorema da sanduíche, a regra da sanduíche, é um teorema relativo ao limite de uma função.

O teorema do confronto é utilizado em cálculo e análise matemática. É tipicamente utilizado para confirmar o limite de uma função através da comparação com duas outras funções cujos limites são conhecidos ou facilmente computados. Foi inicialmente utilizado geometricamente pelos matemáticos Arquimedes e Eudoxo num esforço para calcular π, e foi formulado em termos modernos por Carl Friedrich Gauss.

Em muitas línguas (por exemplo, francês, alemão, italiano, húngaro e russo), o teorema do aperto é também conhecido como o teorema dos dois polícias (e um bêbado), ou alguma variação do mesmo. Nessa história dois polícias estão escoltando um bêbado, não importa o quanto ele cambaleie entre eles, ou que caminho tomam, se forem capazes de o manter entre eles, e os dois polícias estiverem para a mesma cela, o bêbado também irá para essa mesma cela.

Teorema das funções enquadradas (Teorema do confronto para funções)

Sejam $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ funções reais definidas num domínio $D\subseteq \mathbb {R}$ e seja $a$ um ponto deste domínio, tais que:

• $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L$
• $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$

Então, resulta destas condições que:

• $\lim _{x\to a}g(x)=L$

Teorema das sucessões enquadradas (Teorema do confronto aplicado a sucessões/sequências)

Sejam $a_{n}$, $b_{n}$ e $c_{n}$ sucessões de números reais tais que:

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$
• $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$

Então, resulta destas condições que:

• $\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$

Para $L$ finito, a sucessão diz-se convergente (para $L$).

Exemplo (com $x\in \mathbb {R}$)

Gráfico alusivo ao teorema do confronto.

Considere o gráfico à direita, no qual estão representadas as funções: $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$ (azul escuro), $g(x)={\frac {\sin x}{x^{2}}}$ (cinzento tracejado) e $h(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}$ (azul ciano).

Repare que a função $g(x)$ está "enquadrada" (i.e., limitada inferior e superiormente) pelas outras duas funções:

• $h(x)\leq g(x)\leq f(x)$ $\Leftrightarrow -{\frac {1}{x^{2}}}\leq {\frac {\sin x}{x^{2}}}\leq {\frac {1}{x^{2}}}$

e que

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }-{\frac {1}{x^{2}}}=0$,

Conclui-se que o comportamento de $g(x)$ à medida que $x\to +\infty$ traduz-se analiticamente por:

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sin x}{x^{2}}}=0$

O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável $x$ (nesse caso, $x\in \mathbb {N}$).