Teorema do trabalho-energia

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O teorema do trabalho-energia é um teorema da mecânica clássica, segundo o qual, o trabalho mecânico, , realizado sobre um corpo de massa, , por uma força é igual a variação da energia cinética do corpo:

onde, é a diferença entre a energia cinética final, , e a energia cinética inicial, , do corpo, .

Este teorema também é chamado de Teorema da Energia Cinética (TEC).

Demonstração: Caso Particular, Força Constante[editar | editar código-fonte]

Esta demonstração do teorema trabalho-energia é uma das mais belas da mecânica clássica. Para demonstrá-lo, partimos das definições de velocidade e aceleração e usamos a segunda lei de Newton para, por fim, usar as definições de trabalho e energia cinética.

A demonstração assume que o corpo está em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), ou seja, que sua aceleração linear é constante. Do ponto de vista da dinâmica, isto equivale a dizer que a força que realiza trabalho sobre o corpo também é constante. Para facilitar a demonstração, vamos representar as grandezas vetoriais deslocamento, velocidade, aceleração e força na suas formas escalares. Isto é possível com uma escolha adequada de um referencial inercial, por exemplo: se alinharmos o eixo-x do referencial à direção do movimento do corpo. A demonstração também assume que o corpo se comporta como uma partícula e, por conveniência, vamos assumir que o instante inicial do movimento, , é zero, , e que o instante final, é .

  • Definição de velocidade linear, :

onde, é a posição do corpo em função do tempo, .

  • Partindo da definição de aceleração linear, ,

,

temos que

,

com . Integrando ambos os lados da equação:

Esta é uma das equações cinemáticas do MRUV. Isolando o tempo:

  • Uma segunda equação cinemática é obtida resolvendo a equação diferencial,

 :

Aplicando Baskhara para resolver a equação de segundo grau acima, temos:

  • Igualando a equação acima com aquela obtida no passo anterior,

Elevando ambos os lados da equação acima ao quadrado:

  • Escrevendo o deslocamento como

Até aqui, utilizamos apenas conceitos cinemáticos, como deslocamento, velocidade, aceleração e tempo. A partir deste passo, vamos introduzir conceitos da dinâmica: massa, força, trabalho e energia cinética. Multiplicando todos os termos da equação acima pela massa, , do corpo:

  • Pela segunda lei de Newton, , donde

  • Mas, é o trabalho mecânico, ,

realizado pela força constante, , sobre a massa para deslocá-la por :

logo,

, como sendo a metade do produto da massa pela velocidade quadrática de uma partícula,

temos que

Fazendo , temos finalmente

conforme enunciado pelo teorema trabalho-energia.

Demonstração: Caso Geral, Força Variável[editar | editar código-fonte]

Agora vamos considerar o caso mais geral, em que a força que atua sobre o corpo não é constante, podendo variar sua direção, sentido e intensidade ao longo do tempo, . Neste caso, partimos da definição de trabalho,

onde, é o vetor deslocamento. Aplicando a segunda lei de Newton:

e a definição de aceleração, ,

cuja solução é

Introduzindo a definição de energia cinética,

conforme o teorema.