Teorema dos ângulos externos

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O teorema dos ângulos externos de um triângulo é um teorema de geometria que diz que os ângulos externos de um triângulo é maior que os dois ângulos internos não adjacentes a ele ou ainda que o ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele[1].

Um triângulo tem três vértices. Os lados de um triângulo que se em um vértice e formam um ângulo, que é chamado de ângulo interno.

Na figura abaixo observamos que os ângulos , , são os ângulos internos do triângulo e temos que é um ângulo externo. Assim, um ângulo externo de um triângulo é o ângulo formado pelo prolongamento de um lado e o lado adjacente. O ângulo externo é suplementar ao interno adjacente.[2]

Na verdade existem dois teoremas do ângulo externo, isto é, dois resultados que associam o ângulo externo aos ângulos internos não adjacentes, porém ambos se complementam e podem ser vistos como um único teorema. São eles:

  1. Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.
  2. Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual a soma dos dois ângulos internos não adjacentes.

Demonstrações[editar | editar código-fonte]

Esses teoremas podem ser demonstrados de diversas formas.

A demonstração mais trivial passa pelo fato de que o ângulo externo é suplementar ao ângulo interno adjacente.

Partindo-se disso, temos que:

.

Em todo triângulo temos que a soma de todos os ângulo internos é igual a dois ângulos retos, ou um ângulo raso, assim, temos:

.

Podemos isolar o , de modo a obter:

Então aplicaremos essa última relação em e teremos:

Assim, temos que todo ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes. Pela condição de existência de um triângulo temos que nenhum dos ângulos internos será nulo, assim também temos que e .

Referências

  1. Pompeo, José Nicolau (2013). Fundamentos de Matemática Elementar - 9 (São Paulo: Atual). 
  2. «Texto_003: Ângulos internos e ângulos externos de um triângulo » Clubes de Matemática da OBMEP». clubes.obmep.org.br. Consultado em 2016-07-14. 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Geometry Textbook - Standard IX, Maharashtra State Board of Secondary and Higher Secondary Education, Pune - 411 005, India.
  • Wheater, Carolyn C. (2007), Homework Helpers: Geometry, Franklin Lakes, NJ: Career Press, pp. 88–90, ISBN 978-1-56414-936-7 . oeoe fdr