Teorema fundamental da aritmética

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O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1[1] podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.

As proposições do Livro XII de Os Elementos de Euclides praticamente demonstraram este teorema que também foi exposto no Livro IX. O teorema só foi demonstrado e proposto por Carl Friedrich Gauss em 1796.

Livro VII de Os Elementos de Euclides[editar | editar código-fonte]

O Livro VII, com 39 proposições, é totalmente aritmético e estuda as propriedades dos números naturais e suas relações. Ele apresenta três proposições que motivaram o Teorema Fundamental da Aritmética:

Proposição VII-30:[editar | editar código-fonte]

"Caso dois números, sendo multiplicados entre si, façam algum, e algum número primo meça o produzido deles, medirá também um dos do princípio."

Demonstração de "Os Elementos":[editar | editar código-fonte]

Prop 30.jpg

"Façam, pois, dos dois números A, B, sendo multiplicados entre si, o C, e algum número primo, o D, meça o C; diga que o D mede um dos A, B. Não meça, pois, o A; e o D é primo, portanto, os A, D são primos entre si. E tantas vezes o D mede o C, quantas unidades no E, portanto o D, tendo multiplicado o E, fez o C. Mas, certamente, também o A, tendo multiplicado o B, fez o C; portanto, os dois D, E é igual aos dois A, B. Portanto, como D está para A, assim o B para o E. E os D, A são primos, e os primos são também os menores, e os menores medem os que têm as a mesma razão, o mesmo número de vezes, tanto o maior, o maior quanto o menos, o menos, isto é, tanto o antecedente, o antecedente quanto o consequente, o consequente; portanto, o D mede o B. Do mesmo modo, então, provaremos que também, caso não meça o B, medirá o A. Portanto, o D mede um dos A, B; o que era preciso prova."

Proposição VII-31:[editar | editar código-fonte]

"Todo número composto é medido por algum número primo."

Demonstração de "Os Elementos":[editar | editar código-fonte]

"Seja o número composto A; digo que o A é medido por algum número primo. Pois, como o A é composto, algum número o medirá. Meça, e seja o B. E se, por um lado, o B é primo, o prescrito aconteceria. Se, por outro lado, é composto, algum número o medirá. Meça, e seja o C. E como o C mede o B, e o B mede o A, portanto também o C mede o A. E se, por um lado, o C é primo, o prescrito aconteceria. Se, por outro lado é composto, outro número o medirá. Sendo então produzida uma investigação como essa, algum número primo será tomado, que medirá. Pois, se não for tomado, ilimitados números medirão o A, cada um dos quais é menor do que o outro; o que é impossível nos números. Portanto, algum número primo será tomado, que medirá o antes dele mesmo, que também medirá o A. Portanto, todo número composto é medido por algum número primo o que era preciso prova."

Proposição VII-32:[editar | editar código-fonte]

"Todo número ou é primo ou é medido por algum primo."

Demonstração de "Os Elementos":[editar | editar código-fonte]

"Seja o número A; digo que o A ou é primo ou é medido por algum número primo. Se, por um lado, o A é primo, o prescrito aconteceria. Se, por outro lado, é composto, algum número primo o medirá. Portanto, todo número ou é primo ou é medido por algum número primo; o que era preciso prova."

Demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética[editar | editar código-fonte]

Teorema[editar | editar código-fonte]

Seja a>1 um inteiro positivo. Então, existem primos positivos {p_1}\le{p_2}\le{...}\le{p_t} tais que a=p_1p_2...p_t, e essa decomposição é única.

Demonstração:

Existência de uma decomposição

Será usado para esta demonstração o Princípio de indução completa.

Para a=2 existe uma decomposição trivial em números primos, já que 2 é, ele próprio, um número primo. Suponhamos agora que existe uma decomposição para todo inteiro {b},\ {2}\le{b}<a. Mostraremos que também vale para a.

Se a é primo, admite a decomposição trivial. Caso contrário, a admite um divisor positivo b tal que 1<b<a. Isto é, a=bc, e temos também 1<c<a. Pela hipótese de indução, b e c podem ser escritos como produtos de primos, na forma b=p_1...p_s, c=q_1...q_k.

Substituindo, temos a=p_1...p_sq_1...q_k, e o resultado também vale para a.

Unicidade da decomposição

Dado um inteiro a, ele poderia admitir, em princípio, mais de uma decomposição em produto de fatores primos. Será chamado comprimento de uma decomposição ao número de fatores que nela comparecem.

A demonstração será feita por indução no comprimento de uma decomposição de a.

Suponhamos que a admita uma decomposição do tipo a=p_1, onde p_1 é primo, e que vale

a=p_1=q_1q_2...q_s,

em que {q_1}\le{q_2}\le{...}\le{q_s} são primos positivos. Como q_1 divide q_1q_2...q_s, q_1 também divide p_1, que é primo. Então, devemos ter p_1=q_1. Cancelando, vem 1=q_2...q_s. Se s>1, teríamos que o primo q_2 seria invertível, uma contradição. Assim, s=1 e, como já provamos que p_1=q_1, o primeiro passo de indução está verificado.

Suponhamos agora o resultado verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento {k}\ge{1}, e seja a um inteiro com uma decomposição de comprimento k+1. Se a admitisse outra decomposição, temos

a=p_1...p_{k+1}=q_1...q_s,

em que {q_1}\le{q_2}\le{...}\le{q_s} são primos positivos.

Como na primeira parte, q_1 divide p_1...p_{k+1} e temos que q_1 divide p_i, para algum i (Lema de Euclides). Como p_i é primo, devemos ter novamente que q_1=p_i. Em particular, {q_1}\ge{p_1}.

De forma análoga, pode-se obter que p_1=q_j, para algum j. Logo, {p_1}\ge{q_1}. De ambas as desigualdades, vem que p_1=q_1. Finalmente, cancelando em a=p_1...p_{k+1}=q_1...q_s, temos que

p_2...p_{k+1}=q_2...q_s.

Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de comprimento k, logo, da hipótese de indução, admite uma única decomposição. Assim, temos k=s-1, donde k+1=s e p_i=q_i, para i=2,...,k+1. Como já provamos que p_1=q_1, ambas as expressões de a coincidem.

Agrupando os primos eventualmente repetidos na decomposição de a, podemos enunciar o teorema anterior de forma levemente diferente. Também podemos estendê-lo a números negativos.

Teorema Fundamental da Aritmética[editar | editar código-fonte]

Seja a um inteiro diferente de 0, 1 e -1. Então, existem primos positivos p_1<p_2<...<p_r e inteiros positivos n_1, n_2, ..., n_r tais que a=\pm p_1^{n_1}...p_r^{n_r}. Além disso, essa decomposição é única.

Demonstração:

Temos que a=\pm|a|, conforme a seja positivo ou negativo. Como |a| é positivo, do teorema anterior, temos que existem primos {p_1}\le{p_2}\le{...}\le{p_t} tais que

a=\pm p_1p_2...p_t.

Agrupando os primos eventualmente repetidos, podemos escrever

a=\pm p_1^{n_1}...p_r^{n_r}.

A unicidade segue diretamente do teorema anterior.

Está, portanto, demonstrado o Teorema Fundamental da Aritmética.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Utilizando produto vazios não é preciso excluir o número 1, e o teorema pode ser expresso como: todo inteiro positivo tem uma única fatoração como produto de primos.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Milies, Francisco César Polcino. Números: Uma Introdução à Matemática. 3 ed. São Paulo: Editora da USP, 2003.
  • Garbi, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: Um passeio histórico pela maravilhoso mundo da matemática. 3 ed. rev e ampl. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.
  • Euclides. Os Elementos. 1 ed. São Paulo: Editora Unesp,2009.