Teorema geométrico de Euler

Teorema de Euler:
$d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}$

Em geometria, o teorema de Euler estabelece que a distância d entre o circuncentro (circunferência circunscrita) e o incentro de um triângulo é dado por

$$d^{2}=R(R-2r)$$

ou equivalentemente

$${\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},$$

onde $R$ e $r$ denotam o circunraio e o inraio, respectivamente (os raio da circunferência circunscrita e da circunferência inscrita, respectivamente). O teorema é denominado em memória de Leonhard Euler, que o publicou em 1765. Contudo, o mesmo resultado foi publicado anteriormente por William Chapple, em 1746.

Do teorema segue a desigualdade de Euler:

$$R\geq 2r,$$

que satisfaz a igualdade apenas para triângulos equiláteros.

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Euler Triangle Formula» (em inglês). MathWorld