Teoria das perturbações

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Na matemática, a teoria das perturbações é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "próximo" do problema original. A teoria das perturbações é aplicada para resolver diversos problemas como equações algébricas, equações diferenciais e problemas de autovalores.

Aplicação a uma equação do segundo grau[editar | editar código-fonte]

Considere a equação do segundo grau:

Quando , esta equação possui duas raízes, e . Quando , suas raízes podem ser obtidas exatamente pela fórmula de Bhaskara:

O termo com o radical pode ser expandido em série de Taylor:

E assim, obtemos aproximações de segunda ordem para as raízes:

Neste caso, o uso da fórmula de Bhaskara permite calcular diretamente as aproximações. Poderíamos no entanto ter encontrado essas aproximações supondo que cada raíz x depende analiticamente do parâmetro :

Substituindo esta expressão na equação original, obtemos:

Coletando os termos de mesma ordem e fazendo-os igual a zero, o mesmo resultado é obtido, ou seja:

Aplicação a uma equação do terceiro grau[editar | editar código-fonte]

Considere agora a seguinte equação do terceiro grau:

É fácil ver que as raízes dessa equação quando são dadas por , pois:

Vejamos como estas raízes são perturbadas quando o parâmetro é pequeno. Para tal, definimos a série:

e substituimos na equação:

Igualando a zero os termos de mesma ordem em , obtemos:

Aplicação a uma equação diferencial ordinária[editar | editar código-fonte]

Considere o problema de valor inicial não linear dado por:

Procurando soluções da forma:

encontramos:

e

Cujas soluções são:

Isto produz uma aproximação de da forma:

Um problema singular aplicado a uma equação diferencial ordinária[editar | editar código-fonte]

Convergência não-uniforme para a função f(x)

Considere o seguinte problema de valor de contorno:

Aqui, é uma função suave e o parâmetro é positivo. Da teoria de Sturm-Liouville, inferimos que o problema possui uma solução única para cada , mas quando , a equação diferencial se transforma na igualdade , o que pode ser incompatível com os valores de nos pontos e . Para resolver esse problema, escrevemos como a soma de três termos:

onde e satisfazem os seguintes problemas de contorno:

e

A primeira equação pode ser resolvida exatamente:

A segunda equação pode ser estimada usando o princípio do máximo:

E assim obtemos uma aproximação para :