Teoria de Mohr–Coulomb

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa

A teoria de Mohr–Coulomb é um modelo matemático que descreve a resposta de materiais frágeis como o concreto a tensão cisalhante bem como tensão normal. A maior parte dos materiais clássicos de engenharia seguem de alguma forma esta regra em pelo menos uma porção de seu envelope de falha cisalhante. De forma geral a teoria se aplica a materiais para os quais a resistência à compressão excede em muito a resistência à tração.[1]

Em engenharia geotécnica a teoria é usada para definir resistência ao cisalhamento de solos e rochas a diferentes tensões efetivas.

Em engenharia estrutural a teoria é usada para determinar cargas de falha bem como o ângulo de fratura de um deslocamento de fratura em concreto e materiais similares. A hipótese de atrito de Coulomb é usada para determinar a combinação de tensão cisalhante e normal que irá causar a fratura do material. O círculo de Mohr é usado para determinar quais as tensões principais irão produzir esta combinação de tensão cisalhante e normal, e o ângulo do plano no qual isto irá ocorrer. De acordo com o princípio da normalidade a tensão intruduzina na falha será perpendicular à linha descrevendo a condição de fratura.

Pode ser mostrado que um material falhando de acordo com a hipótese de fricção de Coulomb revelará o deslocamento introduzido na falha formando um ângulo com a linha de fratura igual ao ângulo de fricção. Isto torna a resistência do material determinável por comparação do trabalho mecânico externo introduzido pelo deslocamento e o carregamento externo com o trabalho mecânico interno introduzido pela deformação e tensão na linha de falha. Pela lei da conservação da energia a soma destas deve ser zero e isto torna possível calcular a carga de falha da construção.

Uma melhoria comum deste modelo é a combinação da fricção de Coulomb com a hipótese da tensão principal de Rankine para descrever uma fratura de separação.

História do desenvolvimento[editar | editar código-fonte]

A teoria de Mohr–Coulomb é denominada em memória de Charles Augustin de Coulomb e Christian Otto Mohr. A contribuição de Coulomb foi um ensaio publicado em 1773 intitulado "Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture".[2] Mohr desenvolveu uma forma generalizada da teoria no final do século XIX.[3] Como a forma generalizada afetou a interpretação do critério, mas não a essência do mesmo, alguns textos continuam a referir-se ao critério como simplesmente 'critério de Coulomb'.[4]

Critério de falha de Mohr–Coulomb[editar | editar código-fonte]

O critério de falha de Mohr–Coulomb[5] representa o envelope linear que é obtido de uma plotagem da resistência ao cisalhamento de um material versus a tensão normal aplicada . Esta relação é expressa como

Círculos que representam um ensaio triaxial. No ensaio triaxial as pressões aumentam de forma igualitária em todas as direções.

onde é a interseção do envelope de falha com o eixo , e é o ângulo do envelope de falha. A quantidade é frequentemente denominada coesão e o ângulo é chamado de ângulo de fricção interna. A compressão é assumida ser positiva na discussão a seguir. Se a compressão é assumida ser negativa então deve ser trocado por .

Se , o critério de Mohr–Coulomb se reduz à teoria de Tresca. Por outro lado, se o modelo de Mohr–Coulomb é equivalente ao modelo de Rankine. Valores maiores de não são permitidos.

Do círculo de Mohr temos

onde

e é a tensão principal máxima e é a tensão principal mínima.

Portanto, o critério de Mohr–Coulomb pode também ser expresso como

Esta forma do critério de Mohr–Coulomb é aplicável a falha sobre um plano que é paralelo à direção .

Critério de falha de Mohr–Coulomb em três dimensões[editar | editar código-fonte]

O critério de Mohr–Coulomb em três dimensões é frequentemente expresso como

A superfície de falha de Mohr–Coulomb é um cone com seção transversal hexagonal no espaço das tensões deviatórias.

As expressões para e podem ser generalizadas para três dimensões desenvolvendo expressões para a tensão normal e a tensão cisalhante resolvida sobre um plano de orientação arbitrária em relação aos eixos coordenados (vetores de base). Se o vetor normal unitário ao plano de interesse é

onde são os três vetores base unitários ortonormais, e se as tensões principais são alinhadas com os vetores base , então as expressões para são

O critério de falha de Mohr–Coulomb pode então ser avaliado usando a expressão usual

para os seis planos de tensão cisalhante máxima.


Translation Latin Alphabet.svg
Este artigo ou seção está a ser traduzido de «ARTIGO» na Wikipédia em inglês. Ajude e colabore com a tradução.

Referências

  1. Juvinal, Robert C. & Marshek, Kurt .; Fundamentals of machine component design. – 2nd ed., 1991, pp. 217, ISBN 0-471-62281-8
  2. AMIR R. KHOEI; Computational Plasticity in Powder Forming Processes; Elsevier, Amsterdam; 2005; 449 pp.
  3. MAO-HONG YU; "Advances in strength theories for materials under complex stress state in the 20th Century"; Applied Mechanics Reviews; American Society of Mechanical Engineers, New York, U.S.A.; May 2002; 55 (3): pp. 169–218.
  4. NIELS SAABYE OTTOSEN and MATTI RISTINMAA; The Mechanics of Constitutive Modeling; Elsevier Science, Amsterdam, The Netherlands; 2005; pp. 165ff.
  5. Coulomb, C. A. (1776). Essai sur une application des regles des maximis et minimis a quelquels problemes de statique relatifs a la architecture. Mem. Acad. Roy. Div. Sav., vol. 7, pp. 343–387.