Teoria ergódica

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A teoria ergódica é a disciplina matemática que estuda sistemas dinâmicos munidos de medidas invariantes.

Um shift ou transformação que preserva a medida T em um espaço de probabilidade, se diz que é ergódico se um conjunto mensurável que é invariante sob T, tem medida 0 ou 1. Um antigo termo para esta propriedade era metricamente transitivo.

Definição de ergódico[editar | editar código-fonte]

Considere a média no tempo de uma função f de "bom comportamento" (well-behaved ou regularidade). Esta se define como a média (se existe) sobre iterações de T iniciando em algum ponto inicial x_0:

 \hat f(x) = \lim_{n\rightarrow\infty}\;
   \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right).

Considere-se também a média no espaço de f, que se define como:

 \bar f = \int f\,d\mu,

onde μ é uma medida no espaço de probabilidade.

Em geral, a média no tempo e a média no espaço não são necessariamente iguais.

Mas se a transformação é ergódica, e a medida é invariante, então a média no tempo é igual à média no espaço, exceto talvez para un conjunto de medida 0. Este é o famoso Teorema ergódico em forma abstrata, elaborado por George David Birkhoff.

O teorema da equidistribuição de Weyl é um caso especial do Teorema ergódico, que se baseia na distribuição de probabilidade no intervalo unitario [0,1].

Transformação ergódica[editar | editar código-fonte]

Dado T:X\to X sendo uma transformação preservante de medida em um espaço de medida (X,\Sigma,\mu). Um elemento A de \Sigma é T-invariante se A difere de T^{-1}(A) por um conjunto de medida zero, i.e. se

\mu(A\bigtriangleup T^{-1}(A))=0

onde A\bigtriangleup B denota diferença de simetria da teoria dos conjuntos de A e B.

A transformação T é dita ser ergódica se para cada T-invariante elemento A de \Sigma, qualquer A ou X\A tem medida zero.

Transformações ergódicas capturam um fenômeno muito comum em física estatística. Por exemplo, se idealiza-se do espaço de medida como um modelo para as partículas de algum gás contido em um recipiente limitado, com X sendo um finito conjunto de posições que as partículas preenchem a qualquer momento e \mu a cálculo de medida em X, e se T(x) é a posição da partícula x após uma unidade de tempo, então a afirmação que T é ergódico significa que qualquer parte do gás o qual não está vazio nem o recipiente inteiro é misturado com seu complemento durante uma unidade de tempo. Isto é claro um razoável suposição de um ponto de vista físico.

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