Teste da raiz

O teste da raiz, critério da raiz ou teste de Cauchy é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, ele é também aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor

Enunciado

Seja $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}$ uma série numérica e a constante $k$$k$ definida pelo limite:

• $k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$$k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$

Então:

• Se $k<1$$k<1$, a série converge absolutamente
• Se $k>1$$k>1$ ou $k=1^{+}$$k=1^{+}$, a série não converge
• Se $k=1^{-}$$k=1^{-}$, nada se pode concluir

No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de $k$$k$ por:

• $k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$$k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$

Exemplo

Considere a série dada por:

• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{2^{n}}}$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{2^{n}}}$

$k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {n^{2}}{2^{n}}}}={\frac {1}{2}}\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n^{2}}}={\frac {1}{2}}<1$$k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {n^{2}}{2^{n}}}}={\frac {1}{2}}\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n^{2}}}={\frac {1}{2}}<1$

Portanto a série converge.

Exemplo 2

Considere a série dada por:

• $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n(-1)^{n}}$$\sum _{n=0}^{\infty }2^{n(-1)^{n}}$

$k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|2^{n(-1)^{n}}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|(2^{(-1)^{n}})^{n}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|2^{(-1)^{n}}|^{n}}}=$$k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|2^{n(-1)^{n}}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|(2^{(-1)^{n}})^{n}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|2^{(-1)^{n}}|^{n}}}=$

$=\lim _{n\to \infty }{|2^{(-1)^{n}}|}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$$=\lim _{n\to \infty }{|2^{(-1)^{n}}|}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$, em que:

$b_{n}={\begin{cases}2,&{\mbox{se n par}}\\{\frac {1}{2}},&{\mbox{se n ímpar }}\end{cases}}$$b_{n}={\begin{cases}2,&{\mbox{se n par}}\\{\frac {1}{2}},&{\mbox{se n ímpar }}\end{cases}}$

Então $b_{n}$$b_n$ não tem limite, ou seja, $\lim _{n\to \infty }b_{n}$$\lim _{n\to \infty }b_{n}$ não existe.

Neste caso então, como o limite não existe, aplicaremos

$k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }(b_{n})=2>1$$k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }(b_{n})=2>1$

Como $2>1$$2>1$ a série é divergente.

Demonstração para k<1

Seja:

$k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$$k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$

Escolha $\varepsilon ={\frac {1-k}{2}}$$\varepsilon ={\frac {1-k}{2}}$ Como $k<1$$k<1$, $\varepsilon >0$$\varepsilon>0$ e, portanto, existe um $N>0$$N>0$ tal que:

${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<k+\varepsilon ,~~n>N$${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<k+\varepsilon ,~~n>N$

De forma que:

${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<k+\varepsilon <k+{\frac {1-k}{2}}=1+{\frac {k-1}{2}}=1-\varepsilon <1$${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<k+\varepsilon <k+{\frac {1-k}{2}}=1+{\frac {k-1}{2}}=1-\varepsilon <1$

Assim, $|a_{n}|<(1-\varepsilon )^{n},n>N$$|a_{n}|<(1-\varepsilon )^{n},n>N$ e o teste da comparação nos permite concluir que a série converge, comparando-a com a série geométrica de razão $q=1-\varepsilon <0$$q=1-\varepsilon <0$

Demonstração para k>1

Se $k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1$$k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1$, então existe u > 1 e uma subseqüência $\{a_{n_{j}}\}_{j=1}^{\infty }$$\{a_{n_{j}}\}_{j=1}^{\infty }$ tal que:

${\sqrt[{n_{j}}]{|a_{n_{j}}|}}\geq u,~~\forall j=1,2,3,\ldots$${\sqrt[{n_{j}}]{|a_{n_{j}}|}}\geq u,~~\forall j=1,2,3,\ldots$

E imediatamente:

$|a_{n_{j}}|\geq u^{n_{j}},~~\forall j=1,2,3,\ldots$$|a_{n_{j}}|\geq u^{n_{j}},~~\forall j=1,2,3,\ldots$

E portanto, $\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|=\infty$$\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|=\infty$

Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.