Teste da raiz

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O teste da raiz, critério da raiz ou teste de Cauchy é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, ele é também aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja uma série numérica e a constante definida pelo limite:

Então:

  • Se , a série converge absolutamente
  • Se ou , a série não converge
  • Se , nada se pode concluir

No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de por:

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a série dada por:

Portanto a série converge.

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Considere a série dada por:

, em que:

Então não tem limite, ou seja, não existe.

Neste caso então, como o limite não existe, aplicaremos

Como a série é divergente.

Demonstração para k<1[editar | editar código-fonte]

Seja:

Escolha Como , e, portanto, existe um tal que:

De forma que:

Assim, e o teste da comparação nos permite concluir que a série converge, comparando-a com a série geométrica de razão

Demonstração para k>1[editar | editar código-fonte]

Se , então existe u > 1 e uma subseqüência tal que:

E imediatamente:

E portanto,

Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.

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