Teste da série alternada

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Em matemática, o teste da série alternada ou série alternante ou, ainda, teste de Leibniz ou critério de Leibniz, proposto por Gottfried Leibniz é um método para determinar a convergência e estimar o erro de truncamento de séries numéricas da seguinte forma:

  • , onde

O teste diz que a série é convergente se:

  • (o valor absoluto da sucessão é monotonamente decrescente)
  • (O limite do termo geral da sucessão for 0).

E ainda o erro assumido ao truncar a série não supera o último termo considerado.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Defina as somas parciais da seguinte forma:

Agora considere as somas parciais de ordem par e ímpar:

Observe que cada termo entre parênteses é menor ou igual a zero em e maior ou igual a zero em , assim o primeiro é não-crescente e o segundo é não-decrescente.

Ainda temos:

Portanto Da monotonicidade podemos acrescentar:

Agora considere o limite :

  • A seqüência de ordem ímpar é não-decrescente e limitada superiormente, portanto converge para um limite .
  • A seqüência de ordem par é não-crescente e limitada inferiormente, portanto converge para um limite .

Assim, a passagem ao limite está justificada e vale:

Para provar que a série converge, reste mostrar que , para tal faça:

Denotando este limite por , temos:

o que é equivalente a:
,

De onde se pode concluir a estimativa:

Convergência condicional e absoluta[editar | editar código-fonte]

Observe que este teste não assegura convergência absoluta, o que pode ser demonstrado pela série harmônica alternada:

que converge por esse teste, mas:

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