Cálculo |
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Cálculo integral
Definições
Integração por
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Em matemática, o teste de Dirichlet (referente a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) demonstra a convergência de séries numéricas[1] que podem ser escritas na forma:

onde as duas propriedades são verificadas:
para todo 

O teste de Dirichlet é uma generalização do teste de Abel, que exige que a série
seja convergente.
Sendo θ a medida em radianos de um ângulo tal que
, considere a série:

Defina
e
É claro que
é decrescente e converge para zero. E como pode-se mostrar que:

a segunda hipótese é satisfeita e a série converge.
Note-se que nem a série
nem a série
convergem; esta série não passa no Teste de Abel.
Sejam f e g funções satisfazendo:
é tal que a sua antiderivada F no intervalo
é limitada, ou seja,
.
.
.
Nestas condições:
converge.
Observe que este resultado mostra apenas a convergência no sentido de integral imprópria:

Não há qualquer garatia que a integral convirja absolutamente, como é o caso de:

mas

Defina:



Escreva para
:

Trocando índices temos:

Tomamos módulo e aplicamos a desigualdade triangular, observando que
pela monotocidade.

Da primeira hipótese,
, e assim:

A soma telescópica pode ser simplificada:

Como
, escolha
tal que:

Conclui-se que:

E portanto
é uma sucessão de Cauchy e portanto convergente, o que completa a demonstração.
Para demonstrar o teorema de convergência de séries usa-se uma identidade conhecida como Soma por Partes.
Esta identidade é análoga à integração por partes, Definindo algumas notações:
Tem-se
e
onde
Então
Assim o
pois
é limitada e o
Tem-se ainda, por definição, que
é decrescente, logo
, o que torna a série
absolutamente convergente pois
é limitada, então
.
Então:
, com
não negativo.
=
, pois
=
onde aplica-se a soma telescópica.
Por comparação:
,onde
tende à zero, e portanto a série é absolutamente convergente, implicando que a série
é convergente.