Teste de Dirichlet

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Em matemática, o teste de Dirichlet (Veja Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

onde as duas propriedades são verificadas:

  • para todo

O teste de Dirichlet é uma generalização do teste de Abel, que exige que a série seja convergente.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Sendo θ a medida em radianos de um ângulo tal que , considere a série:

Defina e É claro que é decrescente e converge para zero. E como pode-se mostrar que:

a segunda hipótese é satisfeita e a série converge.

Note-se que nem a série nem a série convergem; esta série não passa no Teste de Abel.

Versão para convergência de integrais[editar | editar código-fonte]

Sejam f e g funções satisfazendo:

  • é tal que a sua antiderivada F no intervalo é limitada, ou seja, .
  • .
  • .

Nestas condições:

  • converge.

Observe que este resultado mostra apenas a convergência no sentido de integral imprópria:

Não há qualquer garatia que a integral convirja absolutamente, como é o caso de:

mas

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Defina:

Escreva para :

Trocando índices temos:

Tomamos módulo e aplicamos a desigualdade triangular, observando que pela monotocidade.

Da primeira hipótese, , e assim:

A soma telescópica pode ser simplificada:

Como , escolha tal que:

Conclui-se que:

E portanto é uma sucessão de Cauchy e portanto convergente, o que completa a demonstração.

Demonstração da versão para integrais[editar | editar código-fonte]

Integração por partes, obtemos a seguinte identidade para :

Agora estimamos cada um dos termos à direita:

e

Somando essas estimativas, podemos construir a seguinte desigualdade:

:

e o resultado segue.