Teste de Dirichlet

Em matemática, o teste de Dirichlet (Veja Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}b_{n}

onde as duas propriedades são verificadas:

$\left|\sum _{n=1}^{N}a_{n}\right|<M$ $\left|\sum _{n=1}^{N}a_{n}\right|<M$ para todo $N>0$ $N>0$
$b_{1}\geq b_{2}\geq b_{2}\geq \ldots \geq b_{n}\to 0$ $b_{1}\geq b_{2}\geq b_{2}\geq \ldots \geq b_{n}\to 0$

O teste de Dirichlet é uma generalização do teste de Abel, que exige que a série $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ seja convergente.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Sendo θ a medida em radianos de um ângulo tal que $cos(\theta )\neq 1\,$ $cos(\theta )\neq 1\,$ , considere a série:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\theta )}{n}}

Defina $a_{n}=\sin(n\theta )\,$ $a_{n}=\sin(n\theta )\,$ e $b_{n}={\frac {1}{n}}$ $b_{n}={\frac {1}{n}}$ É claro que $b_{n}$ $b_n$ é decrescente e converge para zero. E como pode-se mostrar que:

\sum _{n=1}^{N}\sin(n\theta )=\sin(N\theta )+{\dfrac {\sin((N-1)\theta )-\sin(N\theta )+\sin \theta }{2-2\cos \theta }}\,

a segunda hipótese é satisfeita e a série converge.

Note-se que nem a série $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$ nem a série $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\,$ $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\,$ convergem; esta série não passa no Teste de Abel.

Versão para convergência de integrais[editar | editar código-fonte]

Sejam f e g funções satisfazendo:

$f(x)\in C[a,+\infty ]$ $f(x)\in C[a,+\infty ]$ é tal que a sua antiderivada F no intervalo $[a,+\infty ]$ $[a,+\infty ]$ é limitada, ou seja, $\exists M>0:\quad |F(x)|\leq M\quad \forall x>a$ $\exists M>0:\quad |F(x)|\leq M\quad \forall x>a$ .
$g(x)\in C^{1}[a,+\infty ],\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leq 0\quad \forall x>a$ $g(x)\in C^{1}[a,+\infty ],\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leq 0\quad \forall x>a$ .
$\lim _{x\to +\infty }g(x)=0$ $\lim _{x\to +\infty }g(x)=0$ .

Nestas condições:

$\int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)dx$ $\int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)dx$ converge.

Observe que este resultado mostra apenas a convergência no sentido de integral imprópria:

\int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)dx=\lim _{y\to \infty }\int _{a}^{+y}f(x)g(x)dx

Não há qualquer garatia que a integral convirja absolutamente, como é o caso de:

\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}dx={\frac {\pi }{2}}

mas

\int _{0}^{+\infty }{\frac {|\sin(x)|}{x}}dx=\infty

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Defina:

$R_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n},~N>0$ $R_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n},~N>0$
$S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}b_{n},~N>0$ $S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}b_{n},~N>0$
$R_{0}=S_{0}=0\,$ $R_{0}=S_{0}=0\,$

Escreva para $k>0$ $k>0$ :

S_{N+k}-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{N+k}a_{n}b_{n}=\sum _{n=N+1}^{N+k}\left(R_{n}-R_{n-1}\right)b_{n}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}b_{n}-\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n-1}b_{n}\,

Trocando índices temos:

S_{N+k}-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}b_{n}-\sum _{n=N}^{N+k-1}R_{n}b_{n+1}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}\left(b_{n}-b_{n+1}\right)-R_{N}b_{N+1}+R_{N+k}b_{N+k+1}\,

Tomamos módulo e aplicamos a desigualdade triangular, observando que $|b_{n}-b_{n+1}|=b_{n}-b_{n+1}$ $|b_{n}-b_{n+1}|=b_{n}-b_{n+1}$ pela monotocidade.