Teste de Dirichlet

Em matemática, o teste de Dirichlet (Veja Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$

onde as duas propriedades são verificadas:

• $\left|\sum_{n=1}^{N}a_n\right|<M$ para todo $N>0$
• $b_1\geq b_2 \geq b_2 \geq \ldots \geq b_n \to 0$

O teste de Dirichlet é uma generalização do teste de Abel, que exige que a série $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ seja convergente.

Exemplo

Seja θ um ângulo constante tal que $cos(\theta) \neq 1\,$, e considere a série:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n \theta)}{n}$

Defina $a_n=\sin(n \theta)\,$ e $b_n=\frac{1}{n}$ É claro que $b_n$ é decrescente e converge para zero. E como pode-se mostrar que:

$\sum_{n=1}^N\sin(n \theta)=\sin(N\theta)+\dfrac{\sin((N-1)\theta)-\sin(N\theta)+\sin\theta}{2-2\cos\theta}\,$

a segunda hipótese é satisfeita e a série converge.

Note-se que nem a série $\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,$ nem a série $\sum_{n=1}^{\infty}b_n\,$ convergem; esta série não passa no Teste de Abel.

Versão para convergência de integrais

Sejam f e g funções satisfazendo:

• $f(x) \in C[a, + \infty]$ é tal que a sua antiderivada F no intervalo $[a, + \infty]$ é limitada, ou seja, $\exists M>0: \quad |F(x)| \le M \quad \forall x>a$.
• $g(x) \in C^{1}[a, + \infty], \quad g(x)>0, \quad g'(x) \le 0 \quad \forall x>a$.
• $\lim_{x \to + \infty}g(x)=0$.

Nestas condições:

• $\int_{a}^{+ \infty}f(x)g(x)dx$ converge.

Observe que este resultado mostra apenas a convergência no sentido de integral imprópria:

$\int_{a}^{+ \infty}f(x)g(x)dx=\lim_{y\to\infty}\int_{a}^{+ y}f(x)g(x)dx$

Não há qualquer garatia que a integral convirja absolutamente, como é o caso de:

$\int_{0}^{+ \infty}\frac{\sin(x)}{x}dx= \frac{\pi}{2}$

mas

$\int_{0}^{+ \infty}\frac{|\sin(x)|}{x}dx= \infty$

Demonstração

Defina:

• $R_N=\sum_{n=1}^N a_n, ~N>0$
• $S_N=\sum_{n=1}^N a_nb_n, ~N>0$
• $R_0=S_0=0\,$

Escreva para $k>0$:

$S_{N+k}-S_N=\sum_{n=N+1}^{N+k}a_nb_n = \sum_{n=N+1}^{N+k}\left(R_n-R_{n-1}\right)b_n=\sum_{n=N+1}^{N+k}R_n b_n-\sum_{n=N+1}^{N+k}R_{n-1}b_n \,$

Trocando índices temos:

$S_{N+k}-S_N=\sum_{n=N+1}^{N+k}R_n b_n-\sum_{n=N}^{N+k-1}R_n b_{n+1}= \sum_{n=N+1}^{N+k}R_n\left(b_n-b_{n+1}\right) -R_N b_{N+1}+R_{N+k-1}b_{N+k}\,$

Tomamos módulo e aplicamos a desigualdade triangular, observando que $|b_n-b_{n+1}|=b_n-b_{n+1}$ pela monotocidade.

$\left|S_{N+k}-S_N\right|\leq\sum_{n=N+1}^{N+k}|R_n|\left(b_n-b_{n+1}\right) +|R_N| b_{N+1}+|R_{N+k-1}|b_{N+k}\,$

Da primeira hipótese, $|R_n|\leq M$, e assim:

$\left|S_{N+k}-S_N\right|\leq M\sum_{n=N+1}^{N+k}\left(b_n-b_{n+1}\right) +M \left(b_{N+1}+b_{N+k}\right)\,$

A soma telescópica pode ser simplificada:

$\left|S_{N+k}-S_N\right|\leq M\left(b_{N+1}-b_{N+k+1}\right) +M \left(b_{N+1}+b_{N+k}\right)\leq 3M b_{N+1} \,$

Como $b_n\to 0$, escolha $N>0$ tal que:

$0\leq b_n \leq \frac{\varepsilon}{3M}, \forall n>N$

Conclui-se que:

$\left|S_{N+k}-S_N\right|\leq \varepsilon \,$

E portanto $S_n$ é uma sucessão de Cauchy e portanto convergente, o que completa a demonstração.

Demonstração da versão para integrais

Integração por partes, obtemos a seguinte identidade para $a<y_0<y_1\,$:

$\begin{array}{rcl} \int_{y_0}^{y_1}f(x)g(x)dx &=& \int_{y_0}^{y_1}F'(x)g(x)dx\\ &=& \left.\left(F(x)g(x)\right)\right|_{y_0}^{y_1}-\int_{y_0}^{y_1}F(x)g'(x)dx \end{array}$

Agora estimamos cada um dos termos à direita:

$\begin{array}{rcl} \left|\int_{y_0}^{y_1}F(x)g'(x)dx \right|&\leq&\int_{y_0}^{y_1}|F(x)|\cdot|g'(x)|dx\leq M\int_{y_0}^{y_1}|g'(x)|dx\\ &=&-M\int_{y_0}^{y_1}g'(x)dx=M\left(g(y_0)-g(y_1)\right) \end{array}$

e

$\begin{array}{rcl} \left|\left.\left(F(x)g(x)\right)\right|_{y_0}^{y_1}\right|&=&\left|F(y_1)g(y_1)-F(y_0)g(y_0)\right|\leq M\left(g(y_1)+g(y_0)\right) \end{array}$

Somando essas estimativas, podemos construir a seguinte desigualdade:

$a<y_0<y_1\,$:

$\begin{array}{rcl} \left|\int_{y_0}^{y_1}f(x)g(x)dx\right| &\leq& M\left(g(y_0)-g(y_1)\right)+M\left(g(y_1)+g(y_0)\right)\\ &=&2M g(y_0)\to 0, \hbox{ quando } y_0\to \infty \end{array}$

e o resultado segue.