Testes de convergência

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Na matemática, os testes de convergência são métodos para confirmar e testar a convergência, convergência condicional, convergência absoluta, intervalo de convergência ou divergência de uma série infinita .

Lista de testes[editar | editar código-fonte]

Limite da soma[editar | editar código-fonte]

Se o limite da soma for indefinido ou diferente de zero, isso é , então a série deve divergir. Nesse sentido, as somas parciais são de Cauchy apenas se esse limite existir e for igual a zero. O teste é inconclusivo se o limite da soma for zero.

Teste de razão[editar | editar código-fonte]

Isso também é conhecido como critério de D'Alembert .

Suponha que existe de tal modo que
Se r <1, a série é absolutamente convergente. Se r > 1, então a série diverge. Se r = 1, o teste de razão é inconclusivo e as séries podem convergir.

Teste de raiz[editar | editar código-fonte]

Este teste também é conhecido como o n-ésimo teste de raiz ou critério de Cauchy.

Seja:
Onde denota o limite superior (possivelmente  ; se o limite existe, é o mesmo valor).
Se r <1, a série converge. Se r > 1, então a série diverge. Se r = 1, o teste de raiz é inconclusivo e a série pode convergir ou divergir.

O teste de raiz é mais forte do que o teste de razão uma vez que sempre que o teste de razão determina a convergência ou divergência de uma série infinita, o teste de raiz também, mas não o contrário. [1]

Por exemplo, para a série

1 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125 + ... = 4

Vemos que a convergência decorre do teste de raiz, mas não do teste de razão.

Teste da integral[editar | editar código-fonte]

A série pode ser comparada a uma integral para estabelecer convergência ou divergência. Considerando sendo uma função não negativa e monotonicamente decrescente, de modo que .

E se
então a série converge. De maneira análoga, se a integral diverge, a série também diverge.
Em outras palavras, a série converge se e somente se a integral convergir.

Teste da comparação direta[editar | editar código-fonte]

Se a série é uma série absolutamente convergente e para n suficientemente grande, então a série converge absolutamente.

Teste da comparação no limite[editar | editar código-fonte]

Se , (ou seja, cada elemento das duas sequências é positivo) e o limite existe, é finito e diferente de zero, então diverge se e somente se diverge.

Teste de condensação de Cauchy[editar | editar código-fonte]

Seja uma sequência positiva não crescente. Então a soma converge se e somente se a soma converge. Além disso, se eles convergirem, então é válida.

Teste de Abel[editar | editar código-fonte]

Suponha que as seguintes afirmações sejam verdadeiras:

  1. é uma série convergente,
  2. é uma sequência monotônica, e
  3. é limitado.

Então também é convergente.

Teste da série alternada[editar | editar código-fonte]

Esse teste também é conhecido como o critério de Leibniz.

Suponha que os seguintes postulados:

  1. ,
  2. para cada n,

Então e são séries convergentes.

Notas[editar | editar código-fonte]

  • Para alguns tipos específicos de séries, existem testes de convergência mais especializados e adequados, como por exemplo, para as séries de Fourier, existe o teste de Dini .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Considere a série

O teste de condensação de Cauchy implica que (*) é finitamente convergente se

é finitamente convergente. Uma vez que

(**) é uma série geométrica com razão . (**) é finitamente convergente se sua proporção for menor que um (a saber ) Assim, (*) é finitamente convergente se e somente se .

Convergência de produtos[editar | editar código-fonte]

Embora a maioria dos testes lide com a convergência de séries infinitas, eles também podem ser usados para mostrar a convergência ou divergência de produtos infinitos. Isso pode ser alcançado usando o seguinte teorema: Considere como uma sequência de números positivos. Então o produto infinito converge se e somente se a série converge. Da mesma forma, se é válida então aproxima-se de um limite diferente de zero se e somente se a série converge.

Isso pode ser provado tomando o logaritmo do produto e usando o teste de comparação no limite. [2]

Referências

  1. Wachsmuth, Bert G. «MathCS.org - Real Analysis: Ratio Test». www.mathcs.org 
  2. Belk, Jim (26 January 2008). «Convergence of Infinite Products»  Verifique data em: |data= (ajuda)

Notas

Leitura adicional[editar | editar código-fonte]

  • Leithold, Louis (1972). The Calculus, with Analytic Geometry. Harper & Row 2nd ed. New York: [s.n.] pp. 655–737. ISBN 0-06-043959-9