Topologia da ordem

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

A topologia da ordem é a topologia associada a uma relação de ordem em um conjunto.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto ordenado, em que a relação de ordem não precisa ser de ordem total. Podemos associar 3 topologias a essa relação de ordem parcial, definidas por suas sub-bases:

  • A topologia da ordem à esquerda, em que a sub-base é formada pelos conjuntos da forma .
  • A topologia da ordem à direita, em que a sub-base é formada pelos conjuntos da forma .
  • A topologia da ordem, em que a sub-base é formada pelos conjuntos e .

Ordem Total[editar | editar código-fonte]

Se a relação é de ordem total, então a topologia da ordem é Hausdorff.

Prova: sejam . Considere os abertos e . Se sua interseção for vazia, então provamos que a e c estão separados por abertos. Caso contrário, existe , portanto . Então separamos a e c pelos abertos disjuntos e .

Como contra-exemplo, temos o conjunto {2, 3, 6} ordenado pela relação quando a for um divisor próprio de b. A sub-base da topologia da ordem contém os conjuntos , , e , portanto a topologia da ordem é que não é Hausdorff.

Wiki letter w.svgEste artigo sobre matemática é mínimo. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.