Topologia fraca

Em análise funcional, a topologia fraca em espaços vetoriais topológicos (como espaços de Banach) é a menor topologia que faz com que os funcionais lineares contínuos na topologia original permaneçam contínuos nessa nova topologia. Tendo menos abertos, terá mais compactos, o que pode simplificar algumas operações (como aquelas que envolvam maximizações de funções).

Definição

Seja X um espaço vetorial topológico (sobre corpo K dos reais ou dos complexos); denote por τ sua topologia. Denote por X^* o seu espaço dual, consistindo dos funcionais lineares X → K contínuos em relação a τ no domínio. A topologia fraca no conjunto X é a interseção de todas as topologias σ tais que todo f ∈ X^* é também contínuo X → K em relação a σ no domínio.

Explicitamente, um subconjunto U ⊆ X é aberto na topologia fraca se e só se, para cada x ∈ U, existem ε > 0 e f₁, …, f_n ∈ X^* tais que:

se y ∈ X é com |f_i(x − y)| < ε para cada 1 ≤ i ≤ n, então y ∈ U.

Propriedades

Supõe-se que X é espaço de Banach. (Há versões de alguns dos resultados para quando X é espaço localmente convexo ou F-espaço.)

• A topologia fraca de X torna X um espaço vetorial topológico Hausdorff (consequência do teorema de Hahn−Banach, em sua forma geométrica).
• Convergência de sequências na topologia fraca é o mesmo que convergência fraca: vale que x_n → x fracamente se e só se, para cada f ∈ X^*, vale f(x_n) → f(x) ∈ K.
• Em particular, se uma sequência qualquer (ou até uma rede) converge na topologia original, então também converge na topologia fraca.
• Se X tem dimensão finita, a topologia fraca é igual à topologia original.
• Todo subconjunto fechado (na topologia original) convexo de X é também fechado na fraca (consequência do teorema de Hahn–Banach). Assim, a bola fechada { x ∈ X | ‖x‖ ≤ 1 } é também fechada na fraca.
• Porém, se X é espaço de Banach de dimensão infinita, a esfera { x ∈ X | ‖x‖ = 1 } não é fechada na fraca, e a bola aberta { x ∈ X | ‖x‖ < 1 } não é aberta na fraca. Isto porque, sendo de dimensão infinita, nenhuma interseção finita de hiperplanos fechados "caberá" na bola aberta.
• Se B ⊆ X é subconjunto limitado na fraca (isto é, para cada f ∈ X^* a imagem f(B) ⊆ K é limitada), então B é subconjunto limitado na original (isto é, limitado em norma).
• Se T : E → F é linear entre espaços de Banach, é contínuo relativo às topologias originais se e só se é contínuo relativo às topologias fracas. Isto é consequência do teorema do gráfico fechado.

Topologia fraca estrela

Há a topologia fraca no dual X^*, e há outra menor ainda, a topologia fraca estrela, que é obtida considerando a preservação da continuidade de só os funcionais lineares X^* → K dados por avaliação em pontos de X.

Mais precisamente, V ⊆ X^* é aberto na topologia fraca estrela se e só se, para cada f ∈ V, existem ε > 0 e x₁, …, x_n ∈ X tais que:

se g ∈ X^* é com |g(x_i) − f(x_i)| < ε para cada 1 ≤ i ≤ n, então g ∈ V.

Assim, a topologia fraca estrela é a mesma que a topologia pontual.

Teoremas

Para simplificar, seja X um espaço de Banach.

• O teorema de Banach–Alaoglu diz que a bola fechada de X^* (o dual) é fracamente estrela compacta. Isto é consequência do teorema de Tychonoff.
• Se X é separável (isto é, admite subconjunto denso enumerável), então a bola fechada de X^*, na topologia fraca estrela, é metrizável.
• O teorema de Kakutani diz que X é espaço reflexivo se e só se a bola fechada de X é fracamente compacta.
• O teorema de Eberlein–Shmulyan diz que X é reflexivo se e só se toda sequência limitada em X admite subsequência fracamente convergente.
• O teorema de Schur diz que toda sequência fracamente convergente em l¹(ℕ) converge na topologia original. (Mesmo assim, a topologia fraca é diferente da original, não sendo caracterizada por sequências.)

Topologias de operadores

Em espaços de operadores lineares contínuos, é possível considerar várias topologias, dependendo das topologias do contradomínio. Uma delas é a topologia de operador fraca.

Bibliografia

• Rudin, Walter (1991), Functional Analysis, ISBN 0-07-054236-8 2 ed. , McGraw–Hill 
• Brezis, Haim (2010), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, ISBN 978-0-387-70913-0, Universitext