Torque

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Torque (pt-BR) ou binário (pt), também conhecido como momento de alavanca, momento de força, ou simplesmente momento (evita-se este último termo, pois ele pode se referir a outras gradezas, como momento angular, momento linear e momento de inércia) é uma grandeza vetorial da física associada às forças que produzam rotação em um corpo.[1]

Inicialmente, o torque é definido a partir da componente perpendicular ao eixo de rotação da força aplicada sobre um objeto, que é efetivamente utilizada para fazê-lo girar em torno de um eixo ou ponto central, conhecido como ponto pivô ou ponto de rotação. A distância do ponto pivô ao ponto onde atua uma força ‘F’ é chamada braço do momento e é denotada por ‘r’. Note que esta distância ‘r’ é também um vetor.[2]

Em um espaço tridimensional, o vetor torque é definido como o produto vetorial, respectivamente, da posição em que é aplicada a força :[1]

História[editar | editar código-fonte]

Representação de uma balança com dois objetos de massas M1 e M2.
Ver artigo principal: Alavanca

Assim como outros conceitos da mecânica clássica, o torque tem suas origens em problemas cotidianos, especialmente no uso das alavancas. As alavancas são máquinas simples que consistem essencialmente em uma barra com um ponto de apoio que facilita o movimento de objetos. O filósofo grego Arquimedes realizou estudos sobre tais máquinas e criou a teoria das alavancas. Ele percebeu que a força aplicada a uma das extremidades da alavanca, com o intuito de mover um objeto na outra extremidade, é inversamente proporcional à distância do ponto de apoio. Ou seja, quanto mais distante a extremidade estiver do ponto de apoio, menor será a força necessária para mover o objeto. Nesse contexto histórico, Arquimedes ficou famoso ao afirmar que caso lhe dessem "um ponto de apoio e uma alavanca" seria capaz de "mover o mundo”.[3]

Introdução[editar | editar código-fonte]

Definição em módulo[editar | editar código-fonte]

Decomposição da força F em duas componentes: uma perpendicular ao vetor posição r, F; e outra paralela a ele. Somente a componente perpendicular da força produz rotação e, por consequência, é a única que produz torque.
Nesta imagem, o vetor torque aponta perpendicularmente ao plano em que ocorre a rotação, no sentido que "sai" da imagem.

A maçaneta de uma porta fica o mais longe possível das dobradiças por uma boa razão. Para abrir uma porta pesada, é tão necessário aplicar uma força de módulo suficientemente grande, quanto é aplicá-la na direção perpendicular à linha que liga a maçaneta às dobradiças. Se a força for aplicada mais perto das dobradiças que a maçaneta, ou com um ângulo diferente de 90º em relação ao plano da porta, será preciso usar uma força maior para abrir a porta que se a força for aplicada à maçaneta, perpendicularmente ao plano da porta.[2]

Para determinar o modo como F provoca uma rotação do corpo em torno do eixo de rotação, podemos separar a força em duas componentes (figura ao lado). Uma dessas componentes, a componente radial F||, tem a direção do vetor r. Essa componente não provoca rotações, já que age ao longo de uma reta que passa pelo ponto do qual se origina o vetor posição r. Isto é, se uma porta for puxada ou empurrada paralelamente ao seu plano, ela não vai girar. Já a componente tangencial, F, é perpendicular ao vetor posição. Essa componente, portanto, provoca rotações e tem módulo . Isso equivale a puxar ou empurrar uma porta perpendicularmente a seu plano, o que provoca sua rotação.[2]

A capacidade de F fazer um corpo girar não depende apenas do módulo da componente tangencial F, mas também da distância entre o ponto de aplicação de F e o ponto em que se origina o vetor r, isto é, do módulo desse vetor, cujo valor é . Em uma interpretação simétrica, pode-se definir a componente de r ortogonal à força F (comumente denominada braço de alavanca), simbolizada por r e cujo módulo é .[4] Para levar em conta os dois fatores, em ambas as interpretações, defini-se uma grandeza chamada de torque () como o produto das duas grandezas de cada situação:[2]

Definição de torque (módulo)

Definição vetorial[editar | editar código-fonte]

Relação dos vetores torque (), força (), momento linear (), momento angular () e posição ().

Inicialmente, define-se o torque de um corpo rígido capaz de girar em torno de um eixo fixo, com todas as partículas do corpo sendo forçadas a se mover em trajetórias circulares com centro nesse eixo. Isto é, o movimento de cada partícula está contido em um plano específico. Para ampliar a definição de torque e o escopo de sua aplicação, de modo que uma partícula possa se mover em uma trajetória qualquer em relação a um ponto fixo (em vez de um eixo fixo) e que a trajetória não seja necessariamente circular, o torque será considerado não mais como um escalar, mas sim como um vetor. Com isso, define-se o torque como sendo o produto vetorial, respectivamente, entre o vetor posição (referido a uma origem ) e a força aplicada ao corpo nessa posição :[1]

Definição de torque (vetorial)

Essa definição de torque, assim como qualquer outro produto vetorial, obedece a convenção dextrógira, isto é, a regra da mão direita.[5] O produto vetorial é formalmente calculado de forma análoga a um determinante, cujas linhas são formadas pelos versores cartesianos e pelas componentes do vetor posição e do vetor força. Considerando , , e , e como os vetores unitários, respectivamente, nas direções , e , obtém-se a seguinte expressão:[6]

Portanto, usando o teorema de Laplace para o cálculo de determinantes, o torque exercido pode ser expresso, em componentes cartesianas, das seguintes formas:

Unidades[editar | editar código-fonte]

A unidade de medida para o torque definida pelo Sistema Internacional de Unidades é o newton-metro. Ainda que matematicamente a ordem destes fatores, "newton" e "metros", seja indiferente, o BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) especifica[7] que a ordem deve ser N·m e não m·N.

Segunda lei de Newton para rotações[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Leis de Newton

Eixo fixo[editar | editar código-fonte]

Um torque pode fazer um corpo rígido girar, como acontece, por exemplo, quando abrimos ou fechamos uma porta. Para relacionar o torque resultante aplicado a um corpo rígido à aceleração angular a produzida por esse torque, faz-se a analogia com a segunda lei de Newton para translações (). No caso, o torque resultante é análogo à força resultante , a aceleração angular à aceleração , e o momento de inércia à massa . Desse modo, tem-se a seguinte equação:[4]

2ª lei de Newton para rotações (eixo fixo)

Forma geral[editar | editar código-fonte]

Caso o torque resultante não seja paralelo à aceleração angular, a relação entre as duas grandezas vetoriais não será dada através de um número, o momento de inércia, mas sim por um tensor, conhecido como o tensor de inércia.

2ª lei de Newton para rotações (forma geral)

Nesta equação matricial, cada entrada de é denominada produto de inércia, dados pelas seguintes expressões sobre uma distribuição de massa de um corpo :


Relação com o momento angular[editar | editar código-fonte]

O torque resultante (referido a uma particular origem ) sofrido por uma partícula também pode ser expresso como sendo a derivada temporal do momento angular (referido à mesma origem). Considerando como o vetor momento angular da partícula, escreve-se matematicamente:[9]

2ª lei de Newton para rotações (momento angular)

Equilíbrio de rotação[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Estática

Diz-se que um corpo rígido (como uma alavanca, por exemplo) está em equilíbrio quando a soma vetorial de todos os seus momentos de torque forem o vetor nulo.

Condição de equilíbrio de rotação

Exemplos envolvendo torque[editar | editar código-fonte]

Bloco pendurado por disco[editar | editar código-fonte]

Imagem de um bloco pendurado por uma corda enrolada em um disco.
Diagrama de forças referente ao problema.

Tomemos um disco homogêneo, de massa e raio , montado em um eixo horizontal fixo; e um bloco de massa pendurado por uma corda (de massa desprezível) enrolada na borda do disco. Conhecidos os valores desses parâmetros e usando as leis de Newton para translação e para rotação é possível determinar a aceleração do bloco em queda, a aceleração angular do disco e a tensão da corda, contanto que seja considerado que a corda não escorrega e que não há atrito no eixo.[8]

Por um lado, considerando o bloco como um sistema, pode-se relacionar a aceleração a às forças que agem sobre o bloco através da segunda lei de Newton para translação (). Por outro, ao considerar o disco como um sistema, relaciona-se a aceleração angular ao torque que age sobre o disco através da segunda lei de Newton para rotação (). Por fim, para combinar os movimentos do bloco e do disco, utiliza-se do fato de que a aceleração linear do bloco e a aceleração linear (tangencial) da borda do disco são iguais, sendo representadas por .[8]

As forças atuantes estão representadas no diagrama de corpo livre do sistema. A força de tensão na corda é e o peso do bloco é , cujo módulo é . Podemos escrever a segunda lei de Newton para as componentes ao longo de um eixo vertical y () como:[8]

Entretanto, não é possível obter o valor de usando apenas esta equação porque ela também contém a incógnita . Comumente em problemas de mecânica, quando se esgotam as conclusões a serem tiradas acerca das forças em um eixo (no caso, o eixo y), observa-se as forças de outros eixos (como o eixo x) para obter mais equações e formar um sistema. Da mesma forma, pode ser útil usar as condições de rotação do disco para formar tal sistema.[8][11]

Para calcular os torques e o momento de inércia, usamos o fato de que o eixo de rotação é perpendicular ao disco e passa pelo seu centro. Nesse caso, os torques são dados pela equação . A força peso do disco e a força do eixo agem sobre o centro do disco e, portanto, a uma distância , de modo que o torque produzido por essas forças seja nulo. A força exercida pela corda sobre o disco age a uma distância do eixo e é tangente à borda do disco. Assim, a força produz um torque , negativo pois o torque tende a fazer o disco girar no sentido horário (lembrando que a regra da mão direita estabelece o sentido anti-horário de rotação como positivo). O momento de inércia do disco é .

Assim, escreve-se a equação da seguinte forma:[11]

Como a aceleração linear do bloco e a aceleração tangencial do disco são iguais, é válida a equação . Substituindo este valor na equação anterior, obtém-se:[11]

Substituindo a equação (2) na equação (1), encontra-se a aceleração obtida pelo corpo:[11]

Com esse resultado também é possível obter o valor da tração na corda, substituindo esta equação na equação (2):

Por fim, pela definição de aceleração angular () e pela definição de torque (), utilizadas no problema, tem-se os valores dessas duas grandezas:

Cálculos de Forças[editar | editar código-fonte]

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O deslocamento de uma força para um ponto fora da sua linha de ação introduz um torque

Uma forma mais geral e simples de somar qualquer tipo de forças consiste em deslocá-las todas para um mesmo ponto, mas por cada força deslocada, deverá ser adicionado um torque, igual ao produto do módulo da força e o braço em relação ao ponto onde foi deslocada. A figura ao lado mostra uma força aplicada num ponto P, que queremos deslocar para a origem O.

O vetor posição do ponto P tem módulo r e faz um ângulo com a força O braço da força em relação a O, que é a distância entre O e a linha de ação da força, é igual a r sin e, portanto, o torque da força em relação a O é:

Repare que é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição e, assim, podemos dizer que o torque é produzido unicamente pela componente da força perpendicular ao deslocamento, e o valor do torque é igual ao valor absoluto da componente perpendicular da força, vezes a distância r que foi deslocada. O produto denomina-se produto vetorial entre os vetores e . No caso da soma das forças paralelas, o deslocamento das forças para o ponto S introduz dois torques, e os dois torques anulam-se e a resultante das duas forças, do ponto S, é a força F, sem nenhum torque. É importante também ter em conta o sentido de cada torque. A rotação produzida por quando for deslocada para a origem será sempre no plano definido por e . Se designarmos esse plano por xy, uma forma conveniente de representar os dois sentidos possíveis do torque é por meio dos versores e Assim, podemos definir o vetor torque usando a expressão vetorial:

em que é, por definição, um vetor com módulo dado pela equação , direção perpendicular ao plano definido por e e sentido dado pela regra da mão direita: afastando os dedos polegar, indicador e médio da mão direita, se o indicador aponta no sentido de e o dedo médio no sentido de , o sentido de é dado pelo dedo polegar. É de salientar que com essa definição, o produto vetorial não é comutativo; e são vetores com o mesmo módulo e direção, mas com sentidos opostos. Como o ângulo de um vetor consigo próprio é zero, o produto é sempre nulo. Em particular:

O produto de dois versores perpendiculares é outro versor perpendicular a eles. Assim, temos que:

e .

Consequentemente, escolhendo eixos em que os vetores r e F só tenham componentes x e y, obtemos o seguinte resultado útil para calcular produtos vetoriais:

Concluiremos para o fato de que, em contraste com as forças, os torques sim são vetores livres. O mesmo torque aplicado em qualquer ponto de um objeto produz o mesmo efeito. Uma força e um torque perpendicular a ela são sempre equivalentes à força, sem torque, atuando em outro ponto diferente. Isto é, deslocando a força na direção e distância apropriada, podemos introduzir um torque igual e oposto ao que queremos anular; como os dois torques são vetores livres, somam-se dando um torque nulo. O ponto de aplicação da resultante de várias forças é o ponto onde podemos somá-las produzindo um torque resultante nulo.[12]

Momento e Binários[editar | editar código-fonte]

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Binário
Momento de uma força

A regra das alavancas pode ser explicada introduzindo o conceito de momento. Define-se o valor do momento de uma força em relação a um ponto O, como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a linha de ação da força (braço ),

O momento representa o efeito de rotação produzido pela força, se o ponto O do corpo rígido estivesse fixo, podendo o corpo rodar à volta desse ponto.[12]

Quanto mais afastada estiver a linha de ação da força em relação ao ponto fixo O, maior será o efeito rotativo produzido pela força. Isso explica porquê é mais fácil fechar a porta quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força; a distância entre a linha de ação da força e a linha das dobradiças é o braço e quanto maior for, maior será o momento da força aplicada.

Sendo o vetor posição do ponto P em que a força é aplicada, em relação à origem O, o braço da força em relação à origem O é igual a , em que o ângulo é o ângulo entre os vetores e (figura ao lado).[12]

Conclui-se que valor do momento da força em relação ao ponto O é igual a,

Repare-se que () é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição , ou seja, o valor do momento da força é também igual ao produto da distância desde o ponto de aplicação até a origem, , pela componente perpendicular da força. O momento produzido pela força é devido unicamente à componente perpendicular da força.[12]

A equação acima mostra que o momento da força é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor posição e a força e mostra a conveniência de definir o momento em forma vetorial:

O vetor representa um efeito de rotação num plano perpendicular a ele.

Na figura anterior o momento é um vetor que aponta para fora da figura e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotação que segue a regra da mão direita em relação ao sentido do vetor .

Um binário é um conjunto de duas forças e , iguais e opostas, com linhas de ação paralelas, como mostra a figura ao lado.

O binário não produz nenhuma translação em nenhum sentido, mas apenas rotação. O momento total, em relação à origem O, é a soma dos momentos das duas forças,

Os dois vetores de posição dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferença é o vetor na figura, que não depende do ponto onde estiver a origem.

Isso quer dizer que o binário produz um momento que não depende de nenhum ponto de referência,

Na figura abaixo o momento do binário é um vetor para fora da figura, representado pela seta circular no sentido anti-horário.

Procedimento para deslocar uma força de um ponto P para outro ponto Q

Uma força aplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ação, usando o procedimento ilustrado na figura acima.

Adicionam-se duas forças e nos pontos P e Q e, para não alterar nada, adiciona-se também um binário com o mesmo módulo do binário das forças introduzidas, mas no sentido oposto.

No caso da figura anterior, deve ser no sentido horário e com módulo igual ao produto de pela distância desde Q até a linha de ação da força original; ou, em forma vetorial, .

No ponto P há duas forças iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a força no ponto Q e o binário que é igual ao momento que a força original, em P, produz em relação ao ponto Q.

Conclui-se que para somar um conjunto de forças num ponto Q, somam-se os momentos das forças em relação a esse ponto, dando um binário resultante, e somam-se as forças como vetores livres. O resultado é a força resultante no ponto Q e o binário resultante.

Quando as direções de todas as forças estiverem num mesmo plano, será conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemplo e e a origem no ponto onde vão ser somadas as forças. Assim sendo, o momento de cada força em relação à origem introduz um binário que tem unicamente componente segundo , dada pelo determinante,

em que e são as coordenadas do ponto onde está a ser aplicada a força .

Para obter o binário resultante bastará somar os valores de obtidos para cada força.[12]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c Halliday 2012, p. 292
  2. a b c d Halliday 2012, p. 267
  3. Rigonatto, Marcelo. «Uso das proporções na teoria de alavancas». Mundo Educação. Consultado em 16 de maio de 2019 
  4. a b c Halliday 2012, p. 268
  5. Halliday 2012, p. 293
  6. Martins, Jorge Sá. «Operações com vetores». Youtube. 7 de outubro de 2017 
  7. «SI - Unidades derivadas». bipm.org. Consultado em 31 de janeiro de 2007. Arquivado do original em 16 de março de 2005 
  8. a b c d e Halliday 2012, p. 269
  9. a b Halliday 2012, p. 297
  10. Halliday 2012, p. 298
  11. a b c d Halliday 2012, p. 270
  12. a b c d e Trechos que usam material da obra Villate, Jaime E (2013). «6: Dinâmica dos corpos rígidos». Dinâmica e Sistemas Dinâmicos. Porto: [s.n.] ISBN 978-972-99396-1-7. Consultado em 8 de junho de 2013  Disponibilizada nos termos da Creative Commons Attribution Share Alike 3.0.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Halliday, David (2012). Fundamentos de Física Volume 1 - Mecânica (9ª ed). Rio de Janeiro, RJ: LTC - Livros Técnicos e Científicos