Torque

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Binário (português europeu) ou torque (português brasileiro), momento de alavanca ou simplesmente momento (deve-se evitar este último termo, pois o mesmo pode referir-se também ao momento angular, ao momento linear ou ao momento de inércia), é uma grandeza vetorial da física.

É definido a partir da componente perpendicular ao eixo de rotação da força aplicada sobre um objeto que é efetivamente utilizada para fazê-lo girar em torno de um eixo ou ponto central conhecido como ponto pivô ou ponto de rotação. A distância do ponto pivô ao ponto onde atua uma força ‘F’ é chamada braço do momento e é denotada por ‘r’. Note que esta distância ‘r’ é também um vector.

Introdução[editar | editar código-fonte]

O torque é definido pela relação:

\mathbf{\vec{\tau}} = \frac{d}{dt}\left( \mathbf{\vec{r}} \times \mathbf{{\overrightarrow{p}}}\right) = \frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p} +\vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt}

Pela segunda lei de Newton, \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F} .

Como \frac{d\vec{r}}{dt} =  \vec{v}, e a velocidade tem a mesma direção do momento, tem-se que  \mathbf{\vec{v}} \times \mathbf{\vec{p}} = \mathbf{\vec{0}}, logo

 \mathbf{\vec{\tau}} = \mathbf{\vec{r}} \times \mathbf{\vec{F}}

na qual \times é o produto vetorial ou externo. Em módulo,

 |\mathbf{\tau}| = |\mathbf{r}| |\mathbf{F}| sen(\theta)

sendo θ o ângulo entre o braço do momento e a força aplicada.

Numa linguagem mais informal, poderá dizer-se que o torque é a medida de quanto uma força que age em um objeto faz com que o mesmo gire.

Unidades[editar | editar código-fonte]

É definida no Sistema Internacional de Unidades para o torque é o newton metro. Ainda que matematicamente a ordem destes factores, "newton" e "metros", seja arbitrária, o BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) especifica1 que a ordem deve ser N·m e não m·N.

Cálculos de Forças[editar | editar código-fonte]

Uma forma mais geral e simples de somar qualquer tipo de forças consiste em deslocá-las todas para um mesmo ponto, mas por cada força \vec F deslocada, deverá ser adicionado um torque, igual ao produto do módulo da força e o braço em relação ao ponto onde foi deslocada. A figura abaixo mostra uma força \vec F aplicada num ponto P, que queremos deslocar para a origem O.

O deslocamento de uma força para um ponto fora da sua linha de ação introduz um torque \tau

O vetor posição \vec r do ponto P tem módulo r e faz um ângulo \theta com a força \vec F O braço da força em relação a O, que é a distância entre O e a linha de ação da força, é igual a r sin \theta e, portanto, o torque da força em relação a O é:

\tau = F\;r\;sin\theta

Repare que (F\;sin\theta) é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição \vec r e, assim, podemos dizer que o torque é produzido unicamente pela componente da força perpendicular ao deslocamento, e o valor do torque é igual ao valor absoluto da componente perpendicular da força, vezes a distância r que foi deslocada. O produto denomina-se produto vetorial entre os vetores \vec r e \vec F

No caso da soma das forças paralelas , o deslocamento das forças para o ponto S introduz dois torques, (\tau_1 = F_1d_1) e (\tau_2 = F_2d_2) os dois torques anulam-se e a resultante das duas forças,do ponto S, é a força F, sem nenhum torque.

É também importante ter em conta o sentido de cada torque. A rotação produzida por \vec F quando for deslocada para a origem será sempre no plano definido por \vec r e \vec F. Se designarmos esse plano por xy, uma forma conveniente de representar os dois sentidos possíveis do torque é por meio dos versores \vec e_z e -\vec e_z Assim, podemos definir o vetor torque \vec \tau usando a expressão vetorial:

\vec \tau = \vec r \times \vec F

em que  \vec r \times \vec F é, por definição, um vetor com módulo dado pela

equação \tau = F\;r\;sin\theta , direção perpendicular ao plano definido por

\vec r e \vec F e sentido dado pela regra da mão direita:

afastando os dedos polegar, indicador e médio da mão direita, se o indicador aponta no

sentido de  \vec r e o dedo médio no sentido de \vec F , o sentido

de \vec \tau é dado pelo dedo polegar.

É de salientar que com essa definição, o produto vetorial não é comutativo; (\vec a \times \vec b) e (\vec b \times \vec a) são vetores com o mesmo módulo e direção, mas com sentidos opostos. Como o ângulo de um vetor consigo próprio é zero, o produto \vec a \times \vec a é sempre nulo; em particular,

\vec e_x \times \vec e_x = \vec e_y \times \vec e_y = 0

O produto de dois versores perpendiculares é outro versor perpendicular a eles; assim, temos que

(\vec e_x \times \vec e_y = \vec e_z) e (-\vec e_y \times \vec e_x = -\vec e_z) .

Consequentemente, escolhendo eixos em que os vetores r e F só tenham componentes x e y, obtemos o seguinte resultado útil para calcular produtos vetoriais:

\vec \tau = \begin{vmatrix}x & y \\ F_x & F_y\end{vmatrix}\vec e_z = (xF_y - yF_x)\vec e_z

Concluiremos para o fato de que, em contraste com as forças, os torques sim são vetores livres. O mesmo torque aplicado em qualquer ponto de um objeto produz o mesmo efeito. Uma força e um torque perpendicular a ela são sempre equivalentes à força, sem torque, atuando em outro ponto diferente. Isto é, deslocando a força na direção e distância apropriada, podemos introduzir um torque igual e oposto ao que queremos anular; como os dois torques são vetores livres, somam-se dando um torque nulo. O ponto de aplicação da resultante de várias forças é o ponto onde podemos somá-las produzindo um torque resultante nulo.2

Equilíbrio de rotação[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma alavanca está em equilíbrio quando a soma de todos os seus momentos é nula.

\sum{T}=0

Momento e Binários[editar | editar código-fonte]

A regra das alavancas pode ser explicada introduzindo o conceito de momento. Define-se o valor do momento de uma força em relação a um ponto O, como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a linha de ação da força (braço b),


M_\mathrm{O} = F\,b

O momento M_\mathrm{O} representa o efeito de rotação produzido pela força, se o ponto O do corpo rígido estivesse fixo, podendo o corpo rodar à volta desse ponto.2

Quanto mais afastada estiver a linha de ação da força em relação ao ponto fixo O, maior será o efeito rotativo produzido pela força. Isso explica porquê é mais fácil fechar a porta quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força; a distância entre a linha de ação da força e a linha das dobradiças é o braço e quanto maior for, maior será o momento da força aplicada.

Momento de uma força

Sendo \vec{r} o vetor posição do ponto P em que a força \vec{F} é aplicada, em relação à origem O, o braço da força em relação à origem O é igual a r\,\sin\theta, em que o ângulo \theta é o ângulo entre os vetores \vec{r} e \vec{F} (figura ao lado). 2

Conclui-se que valor do momento da força em relação ao ponto O é igual a,


M_\mathrm{O} = F\,r\,\sin\theta

Repare-se que (F\,\sin\theta) é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição \vec{r}, ou seja, o valor do momento da força é também igual ao produto da distância desde o ponto de aplicação até a origem, r, pela componente perpendicular da força. O momento produzido pela força é devido unicamente à componente perpendicular da força.2

A equação acima mostra que o momento da força é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor posição e a força e mostra a conveniência de definir o momento em forma vetorial:


\vec{M}_\mathrm{O} = \vec{r}\times\vec{F}

O vetor \vec{M}_\mathrm{O} representa um efeito de rotação num plano perpendicular a ele.

Na figura anterior o momento é um vetor que aponta para fora da figura e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotação que segue a regra da mão direita em relação ao sentido do vetor \vec{M}_\mathrm{O}.

Um binário é um conjunto de duas forças \vec{F} e -\vec{F}, iguais e opostas, com linhas de ação paralelas, como mostra a figura ao lado.

Binário

O binário não produz nenhuma translação em nenhum sentido, mas apenas rotação. O momento total, em relação à origem O, é a soma dos momentos das duas forças,


\vec{r}_\mathrm{Q}\times\vec{F} - \vec{r}_\mathrm{P}\times\vec{F} = (\vec{r}_\mathrm{Q}) - \vec{r}_\mathrm{P}\times\vec{F}

Os dois vetores de posição dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferença é o vetor \vec{r}_\mathrm{PQ} na figura, que não depende do ponto onde estiver a origem.

Isso quer dizer que o binário produz um momento que não depende de nenhum ponto de referência,


\vec{M} = \vec{r}_\mathrm{PQ}\times\vec{F}

Na figura abaixo o momento do binário é um vetor para fora da figura, representado pela seta circular no sentido anti-horário.

Procedimento para deslocar uma força de um ponto P para outro ponto Q

Uma força \vec{F} aplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ação, usando o procedimento ilustrado na figura acima.

Adicionam-se duas forças -\vec{F} e \vec{F} nos pontos P e Q e, para não alterar nada, adiciona-se também um binário \vec{M} com o mesmo módulo do binário das forças introduzidas, mas no sentido oposto.

No caso da figura anterior, M deve ser no sentido horário e com módulo igual ao produto de F pela distância desde Q até a linha de ação da força original; ou, em forma vetorial, \vec{M}=\vec{r}_\mathrm{QP}\times\vec{F}.

No ponto P há duas forças iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a força \vec{F} no ponto Q e o binário \vec{M}=\vec{r}_\mathrm{QP}\times\vec{F} que é igual ao momento \vec{M}_Q que a força original, em P, produz em relação ao ponto Q.

Conclui-se que para somar um conjunto de forças num ponto Q, somam-se os momentos das forças em relação a esse ponto, dando um binário resultante, e somam-se as forças como vetores livres. O resultado é a força resultante no ponto Q e o binário resultante.

Quando as direções de todas as forças estiverem num mesmo plano, será conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemplo x e y e a origem no ponto onde vão ser somadas as forças. Assim sendo, o momento de cada força \vec{F} em relação à origem introduz um binário que tem unicamente componente segundo z, dada pelo determinante,


M_z = \left| \begin{array}{cc}x & y \\ F_x & F_y \end{array} \right|

em que x e y são as coordenadas do ponto onde está a ser aplicada a força \vec{F}.

Para obter o binário resultante bastará somar os valores de M_z obtidos para cada força.2

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. SI - Unidades derivadas
  2. a b c d e Trechos que usam material da obra Villate, Jaime E. Dinâmica e Sistemas Dinâmicos. Porto: [s.n.], 2013. Capítulo: 6: Dinâmica dos corpos rígidos. , ISBN 978-972-99396-1-7 Página visitada em 8 de junho de 2013. Disponibilizada nos termos da Creative Commons Attribution Share Alike 3.0.