Torque

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Binário (português europeu) ou torque (português brasileiro), momento de alavanca ou simplesmente momento (deve-se evitar este último termo, pois ele pode referir-se também ao momento angular, ao momento linear ou ao momento de inércia), é uma grandeza vetorial da física.

É definido a partir da componente perpendicular ao eixo de rotação da força aplicada sobre um objeto que é efetivamente utilizada para fazê-lo girar em torno de um eixo ou ponto central conhecido como ponto pivô ou ponto de rotação. A distância do ponto pivô ao ponto onde atua uma força ‘F’ é chamada braço do momento e é denotada por ‘r’. Note que esta distância ‘r’ é também um vetor.

Introdução[editar | editar código-fonte]

O torque é definido pela relação:

Pela segunda lei de Newton, .

Como , e a velocidade tem a mesma direção do momento, tem-se que , logo

na qual é o produto vetorial ou externo. Em módulo,

sendo θ o ângulo entre o braço do momento e a força aplicada.

Numa linguagem mais informal, poderá dizer-se que o torque é a medida de quanto uma força que age em um objeto faz com que o mesmo gire.

Unidades[editar | editar código-fonte]

É definida no Sistema Internacional de Unidades para o torque é o newton metro. Ainda que matematicamente a ordem destes factores, "newton" e "metros", seja indiferente, o BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) especifica[1] que a ordem deve ser N·m e não m·N.

Cálculos de Forças[editar | editar código-fonte]

Uma forma mais geral e simples de somar qualquer tipo de forças consiste em deslocá-las todas para um mesmo ponto, mas por cada força deslocada, deverá ser adicionado um torque, igual ao produto do módulo da força e o braço em relação ao ponto onde foi deslocada. A figura abaixo mostra uma força aplicada num ponto P, que queremos deslocar para a origem O.

O deslocamento de uma força para um ponto fora da sua linha de ação introduz um torque

O vetor posição do ponto P tem módulo r e faz um ângulo com a força O braço da força em relação a O, que é a distância entre O e a linha de ação da força, é igual a r sin e, portanto, o torque da força em relação a O é:

Repare que é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição e, assim, podemos dizer que o torque é produzido unicamente pela componente da força perpendicular ao deslocamento, e o valor do torque é igual ao valor absoluto da componente perpendicular da força, vezes a distância r que foi deslocada. O produto denomina-se produto vetorial entre os vetores e

No caso da soma das forças paralelas , o deslocamento das forças para o ponto S introduz dois torques, e os dois torques anulam-se e a resultante das duas forças,do ponto S, é a força F, sem nenhum torque.

É também importante ter em conta o sentido de cada torque. A rotação produzida por quando for deslocada para a origem será sempre no plano definido por e . Se designarmos esse plano por xy, uma forma conveniente de representar os dois sentidos possíveis do torque é por meio dos versores e Assim, podemos definir o vetor torque usando a expressão vetorial:

em que é, por definição, um vetor com módulo dado pela

equação , direção perpendicular ao plano definido por

e e sentido dado pela regra da mão direita:

afastando os dedos polegar, indicador e médio da mão direita, se o indicador aponta no

sentido de e o dedo médio no sentido de , o sentido

de é dado pelo dedo polegar.

É de salientar que com essa definição, o produto vetorial não é comutativo; e são vetores com o mesmo módulo e direção, mas com sentidos opostos. Como o ângulo de um vetor consigo próprio é zero, o produto é sempre nulo; em particular,

O produto de dois versores perpendiculares é outro versor perpendicular a eles; assim, temos que

e .

Consequentemente, escolhendo eixos em que os vetores r e F só tenham componentes x e y, obtemos o seguinte resultado útil para calcular produtos vetoriais:

Concluiremos para o fato de que, em contraste com as forças, os torques sim são vetores livres. O mesmo torque aplicado em qualquer ponto de um objeto produz o mesmo efeito. Uma força e um torque perpendicular a ela são sempre equivalentes à força, sem torque, atuando em outro ponto diferente. Isto é, deslocando a força na direção e distância apropriada, podemos introduzir um torque igual e oposto ao que queremos anular; como os dois torques são vetores livres, somam-se dando um torque nulo. O ponto de aplicação da resultante de várias forças é o ponto onde podemos somá-las produzindo um torque resultante nulo.[2]

Equilíbrio de rotação[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma alavanca está em equilíbrio quando a soma de todos os seus momentos é nula.

Momento e Binários[editar | editar código-fonte]

Binário
Momento de uma força

A regra das alavancas pode ser explicada introduzindo o conceito de momento. Define-se o valor do momento de uma força em relação a um ponto O, como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a linha de ação da força (braço ),

O momento representa o efeito de rotação produzido pela força, se o ponto O do corpo rígido estivesse fixo, podendo o corpo rodar à volta desse ponto.[2]

Quanto mais afastada estiver a linha de ação da força em relação ao ponto fixo O, maior será o efeito rotativo produzido pela força. Isso explica porquê é mais fácil fechar a porta quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força; a distância entre a linha de ação da força e a linha das dobradiças é o braço e quanto maior for, maior será o momento da força aplicada.

Sendo o vetor posição do ponto P em que a força é aplicada, em relação à origem O, o braço da força em relação à origem O é igual a , em que o ângulo é o ângulo entre os vetores e (figura ao lado). [2]

Conclui-se que valor do momento da força em relação ao ponto O é igual a,

Repare-se que () é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição , ou seja, o valor do momento da força é também igual ao produto da distância desde o ponto de aplicação até a origem, , pela componente perpendicular da força. O momento produzido pela força é devido unicamente à componente perpendicular da força.[2]

A equação acima mostra que o momento da força é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor posição e a força e mostra a conveniência de definir o momento em forma vetorial:

O vetor representa um efeito de rotação num plano perpendicular a ele.

Na figura anterior o momento é um vetor que aponta para fora da figura e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotação que segue a regra da mão direita em relação ao sentido do vetor .

Um binário é um conjunto de duas forças e , iguais e opostas, com linhas de ação paralelas, como mostra a figura ao lado.

O binário não produz nenhuma translação em nenhum sentido, mas apenas rotação. O momento total, em relação à origem O, é a soma dos momentos das duas forças,

Os dois vetores de posição dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferença é o vetor na figura, que não depende do ponto onde estiver a origem.

Isso quer dizer que o binário produz um momento que não depende de nenhum ponto de referência,

Na figura abaixo o momento do binário é um vetor para fora da figura, representado pela seta circular no sentido anti-horário.

Procedimento para deslocar uma força de um ponto P para outro ponto Q

Uma força aplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ação, usando o procedimento ilustrado na figura acima.

Adicionam-se duas forças e nos pontos P e Q e, para não alterar nada, adiciona-se também um binário com o mesmo módulo do binário das forças introduzidas, mas no sentido oposto.

No caso da figura anterior, deve ser no sentido horário e com módulo igual ao produto de pela distância desde Q até a linha de ação da força original; ou, em forma vetorial, .

No ponto P há duas forças iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a força no ponto Q e o binário que é igual ao momento que a força original, em P, produz em relação ao ponto Q.

Conclui-se que para somar um conjunto de forças num ponto Q, somam-se os momentos das forças em relação a esse ponto, dando um binário resultante, e somam-se as forças como vetores livres. O resultado é a força resultante no ponto Q e o binário resultante.

Quando as direções de todas as forças estiverem num mesmo plano, será conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemplo e e a origem no ponto onde vão ser somadas as forças. Assim sendo, o momento de cada força em relação à origem introduz um binário que tem unicamente componente segundo , dada pelo determinante,

em que e são as coordenadas do ponto onde está a ser aplicada a força .

Para obter o binário resultante bastará somar os valores de obtidos para cada força.[2]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. SI - Unidades derivadas
  2. a b c d e Trechos que usam material da obra Villate, Jaime E (2013). «6: Dinâmica dos corpos rígidos». Dinâmica e Sistemas Dinâmicos (Porto [s.n.]). ISBN 978-972-99396-1-7. Consultado em 8 de junho de 2013.  Disponibilizada nos termos da Creative Commons Attribution Share Alike 3.0. Erro de citação: Código <ref> inválido; o nome "Villate" é definido mais de uma vez com conteúdos diferentes