Torsão de uma curva

Triedro de Frenet-Serret ilustrando os vetores Tangente, Normal e Binormal

Nó toral com vetores tangente T (rosa), normal N (marrom) e binormal B (verde).

A torção(τ) é uma propriedade de curvas no espaço tridimensional (r). Essa propriedade mede o quanto uma curva se projeta para fora do plano de curvatura por meio de um movimento "torsional" que pode ser no sentido de aproximar-se ou afastar-se do vetor normal.

O módulo da torção é dado por $\tau ={\frac {||{\textbf {B}}'||}{||{\textbf {r}}'||}}$ onde ${\textbf {B}}$ é o vetor binormal e ${\textbf {r}}$ é o vetor que descreve uma curva parametricamente.

Calcular a torção por esse método é extremamente trabalhoso porque envolve achar o vetor binormal ${\textbf {B}}$ dado pelo produto vetorial ${\textbf {T}}\times {\textbf {N}}$ o que por sua vez envolve achar os vetores normal ${\textbf {N}}$ e tangente ${\textbf {T}}$ incluindo normalizações e algumas derivações.

Fórmulas mais simples podem ser deduzidas para a torção e para a curvatura que envolvem apenas o vetor ${\textbf {r}}$ e suas derivadas, tornando o cálculo destas uma tarefa consideravelmente mais simples. Elas são dadas por:

$\tau ={\frac {{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''.{\textbf {r}}'''}{||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||^{2}}}$ (torção) e $\kappa ={\frac {||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||}{||{\textbf {r}}'||^{3}}}$ (curvatura)

Demonstração

Seja $\mathbf {r} (t)$ a parametrização de uma curva e $s(t)=\int _{0}^{t}\|r'(t)\|dt$. Então vale:

1. ${\textbf {s}}'=||{\textbf {r}}'||$

2. ${\textbf {T}}'=s'\kappa {\textbf {N}}$

3. ${\textbf {N}}'=s'\tau {\textbf {B}}-s'\kappa {\textbf {T}}$,

onde $\mathbf {T}$, $\mathbf {N}$ e $\mathbf {B}$ são os vetores unitários tangente, normal e binormal, respectivamente.

A idéia é calcular as três primeiras derivadas de ${\textbf {r}}$ e relacioná-las à torção e curvatura. Dessa forma:

${\textbf {r}}'=||{\textbf {r}}'||{\textbf {T}}$ onde fizemos a decomposição do vetor ${\textbf {r}}$ em módulo $||{\textbf {r}}'||$ e direção ${\textbf {T}}$

${\textbf {r}}'=s'{\textbf {T}}$ onde utilizamos a igualdade 1.

A derivada segunda de ${\textbf {r}}$ é dada pela derivação da expressão acima de ${\textbf {r}}'$ utilizando a regra do produto:

${\textbf {r}}''=s''{\textbf {T}}+s'{\textbf {T}}'$

Utilizando a igualdade 2. temos:

${\textbf {r}}''=s''{\textbf {T}}+s'^{2}\kappa {\textbf {N}}$

Calculemos a derivada de terceira ordem de ${\textbf {r}}$ derivando a expressão anterior para ${\textbf {r}}''$ :

${\textbf {r}}'''=s'''{\textbf {T}}+s''{\textbf {T}}'+2s's''\kappa {\textbf {N}}+s'^{2}(\kappa '{\textbf {N}}+\kappa {\textbf {N}}')$ onde utilizamos apenas a regra do produto.

Lançando mão das igualdades 2. e 3. (evidenciadas entre colchetes)

${\textbf {r}}'''=s'''{\textbf {T}}+s''[s'\kappa {\textbf {N}}]+2s's''\kappa {\textbf {N}}+s'^{2}(\kappa '{\textbf {N}}+\kappa [s'\tau {\textbf {B}}-s'\kappa {\textbf {T}}])$

Simplificando e colocando ${\textbf {T}}$, ${\textbf {N}}$ e ${\textbf {B}}$ em evidência:

${\textbf {r}}'''=(s'''-s'^{3}\kappa ^{2}){\textbf {T}}+(3s''s'\kappa +s'^{2}\kappa '){\textbf {N}}+(s'^{3}\kappa \tau ){\textbf {B}}$

Nossas três derivações ficaram assim:

${\textbf {r}}'=s'{\textbf {T}}$

${\textbf {r}}''=s''{\textbf {T}}+s'\kappa {\textbf {N}}$

${\textbf {r}}'''=(s'''-s'^{3}\kappa ^{2}){\textbf {T}}+(3s''s'\kappa +s'^{2}\kappa '){\textbf {N}}+(s'^{3}\kappa \tau ){\textbf {B}}$

Observemos que

${\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''=(s'{\textbf {T}})\times (s''{\textbf {T}}+s'^{2}\kappa {\textbf {N}})$

${\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''=s'^{3}\kappa {\textbf {B}}$

Tomando o módulo temos:

$||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||=||s'^{3}\kappa {\textbf {B}}||$

$||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||=\kappa ||s'^{3}||$ lembrando que o vetor binormal ${\textbf {B}}$ é unitário

Isolando $\kappa$ obtemos nosso primeiro resultado:

$\kappa ={\frac {||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||}{||s'^{3}||}}$ (curvatura)

Agora tomemos o produto escalar de ${\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''$ com ${\textbf {r}}'''$

${\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''=s'^{3}\kappa {\textbf {B}}\cdot [(s'''-s'^{3}\kappa ^{2}){\textbf {T}}+(3s''s'\kappa +s'^{2}\kappa '){\textbf {N}}+(s'^{3}\kappa \tau ){\textbf {B}}]$

O que se reduz a:

${\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''=s'^{3}\kappa {\textbf {B}}\cdot (s'^{3}\kappa \tau ){\textbf {B}}$

${\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''=s'^{6}\kappa ^{2}\tau$

Sendo $||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||=s'^{3}\kappa$, temos:

${\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''=(s'^{3}\kappa )^{2}\tau =||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||^{2}\tau$

Isolando $\tau$:

$\tau ={\frac {{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''}{||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||^{2}}}$ (torção)

que é o nosso segundo e principal resultado.

Propriedades da torção

A torção mede a variação do vetor binormal em relação ao comprimento da curva(s).

Além de usar a curva r para calcular a torção, pode-se usar o vetor binormal.

${dB \over ds}={d(T\times N) \over ds}={dT \over ds}\times N+T\times {dN \over ds}$

Como ${dT \over ds}=\kappa N$, ${dB \over ds}=T\times {dN \over ds}$.

Isso implica que ${dB \over ds}$ é ortogonal a T e ${dB \over ds}$ é ortogonal a B.

Logo, ${dB \over ds}$é paralelo a N, ou seja, ${dB \over ds}=-\tau N$.

O sinal negativo indica que quando $\tau >0,{dB \over ds}$ está no sentido -${\textbf {N}}$. Então, se P é um ponto sobre a curva movendo-se no sentido positivo, ${\textbf {B}}$ gira em torno de ${\textbf {T}}$ como um parafuso de rosca direita sendo apertado, caso seja negativa, seria como um parafuso de rosca esquerda.

Quanto maior o valor da torção, mais esticada são as curvas. No entanto, se esticada até o infinito, a curva passa a ser uma reta.