Torsão de uma curva

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Triedro de Frenet-Serret ilustrando os vetores Tangente, Normal e Binormal
Nó toral com vetores tangente T (rosa), normal N (marrom) e binormal B (verde).

A torção é uma propriedade de curvas no espaço tridimensional. Essa propriedade mede o quanto uma curva se projeta para fora do plano de curvatura por meio de um movimento "torsional" que pode ser no sentido de aproximar-se ou afastar-se do vetor normal.

O módulo da torção é dado por onde é o vetor binormal e é o vetor que descreve uma curva parametricamente.[nota 1]

Calcular a torção por esse método é extremamente trabalhoso porque envolve achar o vetor binormal dado pelo produto vetorial o que por sua vez envolve achar os vetores normal e tangente incluindo normalizações e algumas derivações.

Fórmulas mais simples podem ser deduzidas para a torção e para a curvatura que envolvem apenas o vetor e suas derivadas, tornando o cálculo destas uma tarefa consideravelmente mais simples. Elas são dadas por:

(torção) e (curvatura)

Demonstração [1][editar | editar código-fonte]

Seja a parametrização de uma curva e . Então vale:

1.

2.

3. ,[nota 2]

onde , e são os vetores unitários tangente, normal e binormal, respectivamente.


A idéia é calcular as três primeiras derivadas de e relacioná-las à torção e curvatura. Dessa forma:

onde fizemos a decomposição do vetor em módulo e direção

onde utilizamos a igualdade 1.


A derivada segunda de é dada pela derivação da expressão acima de utilizando a regra do produto:


Utilizando a igualdade 2. temos:


Calculemos a derivada de terceira ordem de derivando a expressão anterior para  :

onde utilizamos apenas a regra do produto.


Lançando mão das igualdades 2. e 3. (evidenciadas entre colchetes)


Simplificando e colocando , e em evidência:


Nossas três derivações ficaram assim:


Observemos que


Tomando o módulo temos:

lembrando que o vetor binormal é unitário


Isolando obtemos nosso primeiro resultado:

(curvatura)


Agora tomemos o produto escalar de com


O que se reduz a:


Sendo , temos:


Isolando :

(torção)

que é o nosso segundo e principal resultado.

Notas

  1. Letras em negrito representam vetores que são funções da variável independente t, ou seja, , etc.
  2. A derivação representada por é com respeito à variável independente t.

Referências

  1. Louis, Brand (1948). Vector and Tensor Analysis. [S.l.: s.n.]