Trajetória ortogonal

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Uma equação da forma

onde é uma constante, define uma família de curvas. As trajetórias ortogonais são outra família de curvas que intersetam a primeira família em forma ortogonal: em cada ponto de uma das curvas da primeira família passa uma curva da segunda família, formando um ângulo de 90.[1]


Para encontrar a família de trajetórias ortogonais às curvas , começamos por encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja ; essa equação encontra-se derivando implicitamente a equação anterior

A derivada representa em cada ponto o declive da curva que passa por esse ponto. O declive da curva ortogonal será o inverso, com sinal trocado

a solução geral desta equação é a família de trajetórias ortogonais.[1]

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Encontre as trajetórias ortogonais da família de círculos com centro na origem.[1]

Família de círculos com centro na origem e trajetórias ortogonais.

A equação dos círculos com centro na origem é

onde o parâmetro pode ter qualquer valor positivo a equação diferencial cuja solução geral é essa família de círculos obtém-se por derivação implícita

e a equação diferencial das trajetórias ortogonais é

A solução desta equação de variáveis separáveis é

que corresponde a uma família de retas que passam pela origem; a constante de integração é declive das retas. A figura mostra a família de curvas e as trajetórias ortogonais.[1]

Referências

  1. a b c d [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.

Ver também[editar | editar código-fonte]


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