Transferência reversa de calor

Uma barra de metal incandescente transfere calor ao ambiente, principalmente por radiação térmica e também, em menor quantidade, por convecção.

Em física, transferência, transmissão ou propagação de calor, algumas vezes citada como propagação ou transferência térmica, é a transição de energia térmica de uma massa (corpo) mais quente para uma massa mais fria. Noutras palavras, é a troca de energia calorífica entre dois sistemas de temperaturas diferentes.

O Problema Direto

Consideremos a transferência de calor transiente em uma parede plana de espessura L. A distribuição de temperatura inicial é dada por F(x). Para um determinado instante t > 0, o fluxo de calor transiente f(t) é aplicado na fronteira em x = 0, enquanto que em x = L é mantida a uma temperatura TL constante. A formulação matemática para esse problema é dado por:

${\frac {\partial }{\partial x}}(k{\frac {\partial T}{\partial x}})=\rho .c_{p}.{\frac {\partial T}{\partial t}}$ → em 0<x<L → para t>0 → (1.1)

$-k{\frac {\partial T}{\partial x}}=F(t)$ → em x = L → para t>0 → (1.2)

$T=T_{L}$ → em t = 0 → para t > 0 → (1.3)

$T=F(x)$ → em t = 0 → para 0 < x < L → (1.4)

Para esse caso as condições de contorno F(t) e TL, a condição inicial F(x), e as propriedades termofísicas $rho$, $c_{p}$ e k são todas especificadas, a solução da Eq. (1.1) com as condições de contorno dadas pelas Eqs. (1.2) a (1.4) fornece a distribuição de temperatura T(x,t) no interior da região sólida da parede, em função da posição e do tempo. Essa formulação é denominada de Problema Direto.

O Problema Reverso

Vamos considerar agora uma situação similar a anterior, mas agora a condição de contorno para x = 0, F(t) é desconhecida, enquanto que as demais quantidades que aparecem na Eq. (1.1), tais como $T_{L}$, F(x), k, $\rho$ e $c_{p}$ são conhecidas. O objetivo é determinar a função F(t). Para compensar a falta de informação referente a condição de contorno em x = 0, medimos a temperatura $T(x_{m},t_{i})=Y_{i}$ para um determinado tempo $x_{m}$ no interior da parede em diferentes tempo $t_{i}$ (i = 1, 2, ...., I), no intervalo $0<t<t_{f}$, onde $t_{f}$ é o tempo final. Este é um problema inverso, pois está preocupado com a estimativa da função F(t) desconhecida na superfície. Aqui, a estimativa é a terminologia usada no lugar de determinação. A razão é que os dados de temperatura medidos utilizados na análise inversa contêm erros de medição. Como resultado, a quantidade determinada pela análise inversa não é exata, mas é apenas uma apenas uma estimativa dentro dos erros de medição. A formulação matemática para o Probeme Inverso é dada por:

${\frac {\partial }{\partial x}}(k{\frac {\partial T}{\partial x}})=\rho .c_{p}.{\frac {\partial T}{\partial t}}$ → em 0<x<L → para t>0 → (1.5)

$-k{\frac {\partial T}{\partial x}}=F(t)$ desconhecida → em x = L → para t>0 → (1.6)

$T=T_{L}$ → em t = 0 → para t > 0 → (1.7)

$T=F(x)$ → em t = 0 → para 0 < x < L → (1.8)

A temperatura medida no interior do corpo, localizada em xm para diferentes tempos $t_{i}$ é dada por:

$T(x_{m},t_{i})=Y_{i}$ → em $x=x_{m}$ → para $t=t_{i}(i=1,2,..,I)$ → (1.9)

O objetivo principal do problema direto é determinar o perfil de temperatura T(x,t) no sólido, quando todas as variáveis são conhecidas, tais como: condições de contorno e seus parâmetros, condições iniciais, propriedades termofísicas, entre outras. Enquanto que no problema inverso, o objetivo é estimar uma ou mais variável desconhecida, através do conhecimento da temperatura em alguma seção no meio do corpo sólido. No problema direto as causas são dadas e o efeito é determinado, enquanto que no problema inverso o efeito é conhecido e a causa estimada.

Parâmetros de Forma

Problemas inversos podem ser resolvidos com a estimativa de um parâmetro na forma de uma função. Se alguma informação sobre a forma funcional dessa função esta disponível, o problema é reduzido a estimativa de alguns parâmetros. Vamos considerar o problema inverso e as condições de contorno especificadas pelas Eqs. (1.5) a (1.8) e assumir que a função desconhecida F(t) pode ser representada por um polinômio em função do tempo dado por:

$F(t)=P_{1}+P_{2}*t+P_{3}*t^{2}+.......+P_{N}*t^{N-1}$ → (1.10)

$F(t)=\sum _{j=1}^{\mathbb {N} }\ P_{j}*C_{j}(t)$

onde $P_{j},j=1,2,....,N$, são constantes desconhecidas e $C_{j}(t)$ é uma função de estudo. Uma vez que, o objetivo do problema inverso é estimar a função F(t), o problema resume-se a estimar um número finito do parâmetro $P_{j}$, onde o número N de parâmetros é previamente definido.

Dificuldades na Solução de Problemas de Transferência de Calor Reversa

Para ilustrar as dificuldades presentes na solução de problemas de transferência de calor reversa, vamos considerar um sólido semi-infinito (0 < x < ∞) inicialmente a uma temperatura de zero gruas Celsius. Para um t > 0, a superfície em x = 0 esta sujeita a um fluxo de calor representado pela equação:

$q(t)=q_{0}cos\omega t$ → (2.1)

onde $q_{0}$ e ω representam a amplitude e a frequência de oscilação do fluxo de calor, respectivamente, e t é a variável tempo. Após o término da fase transiente, a distribuição de temperatura no sólido é dado por: ,

$T(x,t)={\frac {q_{0}}{k}}{\sqrt {\frac {\alpha }{\omega }}}e^{-\omega {\sqrt {\frac {\omega }{2\alpha }}}}\cos \left({\omega t-x{\sqrt {\frac {\omega }{2\alpha }}}-{\frac {\Pi }{4}}}\right)$ → (2.2)

onde $\alpha$ é a difusividade térmica e k a condutibilidade térmica do sólido. A Eq. (2.2) mostra que a resposta da temperatura é defasada em relação à excitação do fluxo de calor na superfície do corpo, ficando mais pronunciada para pontos localizados mais no interior do corpo. O registro a temperatura indica a necessidade de medidas tomadas depois do momento em que o fluxo de calor é aplicado, se for para ser estimado.

A amplitude para oscilação da temperatura em alguma localização, |∆T(x)|, é obtido fazendo o termo $\cos \left({\omega t-x{\sqrt {\frac {\omega }{2\alpha }}}-{\frac {\Pi }{4}}}\right)=1$

$|\Delta (x)|={\frac {q_{0}}{k}}{\sqrt {\frac {\alpha }{\omega }}}e^{-\omega {\sqrt {\frac {\omega }{2\alpha }}}}$ → (2.3)

A Eq. (2.3) mostra que |∆T(x)| diminui exponencialmente com o aumento da profundidade abaixo da superfície e com o aumento da frequência ω. A amplitude do fluxo de calor,$q_{0}$, pode ser estimado usando diretamente a temperatura medida em um ponto no interior do corpo sólido, algum erro na medida de |∆T(x)| será aumentado exponencialmente com a profundidade x e a frequência ω, como mostra a equação.

$|\Delta (x)|k\left({\sqrt {\frac {\alpha }{\omega }}}\right)^{-1}$ → (2.4)

É fácil perceber que, a fim de ser capaz de estimar o fluxo de calor de fronteira, um sensor deve estar localizado dentro de uma profundidade abaixo da superfície onde a amplitude da oscilação da temperatura é muito maior do que a medição dos erros. Caso contrário, é impossível distinguir se a oscilação da temperatura medida é devido a mudanças no fluxo de calor na fronteira ou devido aos erros de medição, resultando dessa maneira na não solução do problema inverso. A discussão acime revela que, dependendo da localização do sensor e da frequência das oscilações, a solução do problema inverso pode tornar-se muito sensível a erros de medição nos dados de entrada. Uma vez que a precisão da solução obtida pelo problema inverso é afetada por erros envolvido na medição da temperatura, apresentamos a seguir oito hipóteses padrão proposta por Beck , ,, em relação a descrição estatística dos erros.

1. Erros aditivos $Y_{i}=T_{i}+\epsilon _{i}$

onde $Y_{i}$ é a temperatura medida, $T_{i}$, é a temperatura atual e $\epsilon _{i}$ o erro aleatório.

2. O erro da temperatura $\epsilon _{i}$ tem uma média zero, isto é $E\left(\epsilon _{i}\right)=0$, onde E é o valor esperado do operador. O erro pode ser dito estabilizado.

3. A variância do erro é dada por $\sigma ^{2}=E{[Y_{i}-E(Y_{i})]^{2}}=\sigma ^{2}=constante$ no qual a média da variância de $Y_{i}$ é independente das medições.

4. Os erros associados a medições diferentes não são correlacionados. Dois erros de medição $\epsilon _{i}$ e $\epsilon _{j}$, onde i≠j, estão correlacionados, se a covariância de $\epsilon _{i}$ e $\epsilon _{j}$ for zero.

$cov(\epsilon _{i},\epsilon _{j})={E[\epsilon _{i}-E(\epsilon _{i})][\epsilon _{j}-E(\epsilon _{j})]}=0$ para i≠j.

5. Os erros medidos tem uma distribuição normal (Gaussiana), a distribuição de probabilidade é dada por:

$f(\epsilon _{i})={\frac {1}{\sqrt {2\Pi }}}e^{\frac {-\epsilon _{i}^{2}}{2\sigma ^{2}}}$

6. O parâmetro estatístico $\epsilon _{i}$, bem como $\sigma$, são desconhecidos.

7. As únicas variáveis que contém erros aleatórios são as temperaturas medidas. Os tempos de medição, posições de medição, as dimensões do corpo e todas os demais parâmetros que aparecem na formulação do problema inverso são todos conhecidos com precisão.

8. Não há nenhuma informação prévia sobre as quantidades a serem estimadas, que podem ser parâmetros ou funções. Se a informação existe, ela pode ser utilizada para obter estimativas melhoradas.