Transformação de Möbius

Em geometria, uma transformação de Möbius é uma função da forma:

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

de uma variável complexa z, e onde os coeficientes a, b, c, d são números complexos que verificam que ad − bc ≠ 0.

Geometricamente uma transformação de Möbius pode ser descrita aplicando a projeção estereográfica inversa do plano para a esfera unitária, movendo e girando a esfera para uma nova posição e orientação no espaço e, em seguida, aplicando uma projeção estereográfica para mapear da esfera de volta para o plano.

Tais transformações são conformes e portanto preservam ângulos. Também, transformam linhas em circunferências e vice-versa.

Pontos fixos

Cada transformação de Möbius que não seja a identidade possui dois pontos fixos $\gamma _{1},\gamma _{2}$ na esfera de Riemann. Os pontos fixos são contados aqui com multiplicidade; as Predefinição:Visible anchor são aquelas em que os pontos fixos coincidem. Um ou ambos os pontos fixos podem ser o ponto no infinito.

Determinando os pontos fixos

Os pontos fixos da transformação $$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$$ são obtidos resolvendo a equação de ponto fixo f(γ) = γ. Para c ≠ 0, esta possui duas raízes obtidas ao expandir esta equação para $$c\gamma ^{2}-(a-d)\gamma -b=0\ ,$$ e aplicando a fórmula quadrática. As raízes são $$\gamma _{1,2}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c}}$$ com o discriminante $$\Delta =(\operatorname {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\det {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad-bc),$$ onde a matriz $${\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\ c&d\end{pmatrix}}$$ representa a transformação.

As transformações parabólicas possuem pontos fixos coincidentes devido ao discriminante zero. Para c não nulo e discriminante não nulo, a transformação é elíptica ou hiperbólica.

Quando c = 0, a equação quadrática degenera em uma equação linear e a transformação é linear. Isso corresponde à situação em que um dos pontos fixos é o ponto no infinito. Quando a ≠ d, o segundo ponto fixo é finito e é dado por $$\gamma =-{\frac {b}{a-d}}.$$

Neste caso, a transformação será uma transformação simples composta de translações, rotações e dilatações: $$z\mapsto \alpha z+\beta .$$

Se c = 0 e a = d, então ambos os pontos fixos estão no infinito, e a transformação de Möbius corresponde a uma translação pura: $$z\mapsto z+\beta .$$

Prova topológica

Topologicamente, o fato de que as transformações de Möbius (que não são a identidade) fixam 2 pontos (com multiplicidade) corresponde à característica de Euler da esfera ser 2: $$\chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2.$$

Primeiramente, o grupo linear projetivo PGL(2, K) é estritamente 3-transitivo – para quaisquer dois triplos ordenados de pontos distintos, existe uma única aplicação que leva um triplo ao outro, assim como nas transformações de Möbius, e pela mesma prova algébrica (essencialmente contagem de dimensões, já que o grupo é tridimensional). Portanto, qualquer aplicação que fixe pelo menos 3 pontos é a identidade.

Em seguida, pode-se observar, identificando o grupo de Möbius com $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )$, que qualquer função de Möbius é homotópica à identidade. De fato, qualquer membro do grupo linear geral pode ser reduzido à aplicação identidade por eliminação de Gauss-Jordan, o que mostra que o grupo linear projetivo também é conexo por caminhos, fornecendo uma homotopia para a aplicação identidade. O teorema de Lefschetz–Hopf afirma que a soma dos índices (neste contexto, multiplicidade) dos pontos fixos de um mapa com finitamente muitos pontos fixos é igual ao número de Lefschetz do mapa, que neste caso é o traço do mapa identidade nos grupos de homologia, que é simplesmente a característica de Euler.

Em contraste, o grupo linear projetivo da reta projetiva real, PGL(2, R), não precisa fixar nenhum ponto – por exemplo, $(1+x)/(1-x)$ não possui pontos fixos (reais): como uma transformação complexa, ela fixa ±i – enquanto o mapa 2x fixa os dois pontos 0 e ∞. Isso corresponde ao fato de que a característica de Euler do círculo (reta projetiva real) é 0, e assim o teorema do ponto fixo de Lefschetz diz apenas que ele deve fixar pelo menos 0 pontos, mas possivelmente mais.

Forma normal

As transformações de Möbius também são por vezes escritas em termos de seus pontos fixos na chamada forma normal. Tratamos primeiro o caso não parabólico, para o qual existem dois pontos fixos distintos.

Caso não parabólico:

Toda transformação não parabólica é conjugada a uma dilatação/rotação, ou seja, uma transformação da forma $$z\mapsto kz$$ (k ∈ C) com pontos fixos em 0 e ∞. Para ver isto, defina um mapa $$g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}$$ que envia os pontos (γ₁, γ₂) para (0, ∞). Aqui assumimos que γ₁ e γ₂ são distintos e finitos. Se um deles já estiver no infinito, então g pode ser modificado para fixar o infinito e enviar o outro ponto para 0.

Se f possui pontos fixos distintos (γ₁, γ₂), então a transformação $gfg^{-1}$ possui pontos fixos em 0 e ∞ e é, portanto, uma dilatação: $gfg^{-1}(z)=kz$. A equação de ponto fixo para a transformação f pode então ser escrita como $${\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}.$$

Resolvendo para f obtém-se (em forma de matriz): $${\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\ 1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}$$ ou, se um dos pontos fixos estiver no infinito: $${\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \ 0&1\end{pmatrix}}.$$

A partir das expressões acima, podem-se calcular as derivadas de f nos pontos fixos: $$f'(\gamma _{1})=k$$ e $$f'(\gamma _{2})=1/k.$$

Observe que, dada uma ordenação dos pontos fixos, podemos distinguir um dos multiplicadores (k) de f como a constante característica de f. Inverter a ordem dos pontos fixos é equivalente a tomar o multiplicador inverso para a constante característica: $${\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _{1}).$$

Para transformações loxodrômicas, sempre que |k| > 1, diz-se que γ₁ é o ponto fixo repulsivo e γ₂ é o ponto fixo atrativo. Para |k| < 1, os papéis são invertidos.

Caso parabólico:

No caso parabólico, existe apenas um ponto fixo γ. A transformação que envia esse ponto para ∞ é $$g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}$$ ou a identidade se γ já estiver no infinito. A transformação $gfg^{-1}$ fixa o infinito e é, portanto, uma translação: $$gfg^{-1}(z)=z+\beta ,.$$

Aqui, β é chamado de comprimento de translação. A fórmula do ponto fixo para uma transformação parabólica é então $${\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta .$$

Resolvendo para f (em forma de matriz), obtém-se $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta$$ ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\ \beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}} Note que ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}(\beta$ ;\gamma )=|{\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )|=\det {\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\ \beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}=1-\gamma ^{2}\beta ^{2}+\gamma ^{2}\beta ^{2}=1}

Se γ = ∞: $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta$$ ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \ 0&1\end{pmatrix}}}

Note que β não é a constante característica de f, que é sempre 1 para uma transformação parabólica. A partir das expressões acima, pode-se calcular: $$f'(\gamma )=1.$$

Determinando os pontos fixos

Os pontos fixos da transformação $$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$$ são obtidos resolvendo a equação de ponto fixo f(γ) = γ. Para c ≠ 0, esta possui duas raízes obtidas ao expandir esta equação para $$c\gamma ^{2}-(a-d)\gamma -b=0\ ,$$ e aplicando a fórmula quadrática. As raízes são $$\gamma _{1,2}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c}}$$ com o discriminante $$\Delta =(\operatorname {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\det {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad-bc),$$ onde a matriz $${\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$$ representa a transformação.

As transformações parabólicas possuem pontos fixos coincidentes devido ao discriminante ser zero. Para c não nulo e discriminante não nulo, a transformação é elíptica ou hiperbólica.

Quando c = 0, a equação quadrática degenera em uma equação linear e a transformação é linear. Isso corresponde à situação em que um dos pontos fixos é o ponto no infinito. Quando a ≠ d, o segundo ponto fixo é finito e é dado por $$\gamma =-{\frac {b}{a-d}}.$$

Neste caso, a transformação será uma transformação simples composta de translações, rotações e dilatações: $$z\mapsto \alpha z+\beta .$$

Se c = 0 e a = d, então ambos os pontos fixos estão no infinito, e a transformação de Möbius corresponde a uma translação pura: $$z\mapsto z+\beta .$$

Prova topológica

Topologicamente, o fato de que as transformações de Möbius (que não sejam a identidade) fixam 2 pontos (com multiplicidade) corresponde à característica de Euler da esfera ser 2: $$\chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2.$$

Primeiramente, o grupo linear projetivo PGL(2, K) é estritamente 3-transitivo – para quaisquer dois triplos ordenados de pontos distintos, existe uma única aplicação que leva um triplo ao outro, assim como nas transformações de Möbius, e pela mesma prova algébrica (essencialmente contagem de dimensões, já que o grupo é tridimensional). Assim, qualquer aplicação que fixe pelo menos 3 pontos é a identidade.

Em seguida, pode-se ver, identificando o grupo de Möbius com $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )$, que qualquer função de Möbius é homotópica à identidade. De fato, qualquer membro do grupo linear geral pode ser reduzido à aplicação identidade por eliminação de Gauss-Jordan; isso mostra que o grupo linear projetivo também é conexo por caminhos, fornecendo uma homotopia para a aplicação identidade. O teorema de Lefschetz–Hopf afirma que a soma dos índices (neste contexto, multiplicidade) dos pontos fixos de um mapa com finitamente muitos pontos fixos é igual ao número de Lefschetz do mapa, que neste caso é o traço do mapa identidade nos grupos de homologia, que é simplesmente a característica de Euler.

Em contraste, o grupo linear projetivo da reta projetiva real, PGL(2, R), não precisa fixar nenhum ponto – por exemplo, $(1+x)/(1-x)$ não possui pontos fixos (reais): como uma transformação complexa, ela fixa ±i – enquanto o mapa 2x fixa os dois pontos 0 e ∞. Isso corresponde ao fato de que a característica de Euler do círculo (reta projetiva real) é 0, e assim o teorema do ponto fixo de Lefschetz diz apenas que ele deve fixar pelo menos 0 pontos, mas possivelmente mais.

Forma normal

As transformações de Möbius também são por vezes escritas em termos de seus pontos fixos na chamada forma normal. Tratamos primeiro o caso não parabólico, para o qual existem dois pontos fixos distintos.

Caso não parabólico:

Toda transformação não parabólica é conjugada a uma dilatação/rotação, ou seja, uma transformação da forma $$z\mapsto kz$$ (k ∈ C) com pontos fixos em 0 e ∞. Para ver isso, defina um mapa $$g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}$$ que envia os pontos (γ₁, γ₂) para (0, ∞). Aqui assumimos que γ₁ e γ₂ são distintos e finitos. Se um deles já estiver no infinito, então g pode ser modificado para fixar o infinito e enviar o outro ponto para 0.

Se f possui pontos fixos distintos (γ₁, γ₂), então a transformação $gfg^{-1}$ possui pontos fixos em 0 e ∞ e é, portanto, uma dilatação: $gfg^{-1}(z)=kz$. A equação de ponto fixo para a transformação f pode então ser escrita como $${\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}.$$

Resolvendo para f obtém-se (em forma de matriz): $${\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}$$ ou, se um dos pontos fixos estiver no infinito: $${\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}.$$

A partir das expressões acima, podem-se calcular as derivadas de f nos pontos fixos: $$f'(\gamma _{1})=k$$ e $$f'(\gamma _{2})=1/k.$$

Observe que, dada uma ordenação dos pontos fixos, podemos distinguir um dos multiplicadores (k) de f como a constante característica de f. Inverter a ordem dos pontos fixos é equivalente a tomar o multiplicador inverso para a constante característica: $${\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _{1}).$$

Para transformações loxodrômicas, sempre que |k| > 1, diz-se que γ₁ é o ponto fixo repulsivo e γ₂ é o ponto fixo atrativo. Para |k| < 1, os papéis são invertidos.

Caso parabólico:

No caso parabólico, existe apenas um ponto fixo γ. A transformação que envia esse ponto para ∞ é $$g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}$$ ou a identidade se γ já estiver no infinito. A transformação $gfg^{-1}$ fixa o infinito e é, portanto, uma translação: $$gfg^{-1}(z)=z+\beta \,.$$

Aqui, β é chamado de comprimento de translação. A fórmula do ponto fixo para uma transformação parabólica é então $${\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta .$$

Resolvendo para f (em forma de matriz), obtém-se $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta$$ ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}} Note que $${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}(\beta$$ ;\gamma )=|{\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )|=\det {\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}=1-\gamma ^{2}\beta ^{2}+\gamma ^{2}\beta ^{2}=1}

Se γ = ∞: $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta$$ ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}}

Note que β não é a constante característica de f, que é sempre 1 para uma transformação parabólica. A partir das expressões acima, pode-se calcular: $$f'(\gamma )=1.$$

Polos da transformação

O ponto ${\textstyle z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}}$ é chamado de polo de ${\mathfrak {H}}$; é o ponto que é transformado no ponto no infinito sob ⁠${\mathfrak {H}}$⁠.

O polo inverso ${\textstyle Z_{\infty }={\frac {a}{c}}}$ é aquele ponto para o qual o ponto no infinito é transformado. O ponto médio entre os dois polos é sempre o mesmo que o ponto médio entre os dois pontos fixos: $$\gamma _{1}+\gamma _{2}=z_{\infty }+Z_{\infty }.$$

Estes quatro pontos são os vértices de um paralelogramo que às vezes é chamado de paralelogramo característico da transformação.

Uma transformação ${\mathfrak {H}}$ pode ser especificada com dois pontos fixos γ₁, γ₂ e o polo $z_{\infty }$.

$${\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}Z_{\infty }&-\gamma _{1}\gamma _{2}\\1&-z_{\infty }\end{pmatrix}},\;\;Z_{\infty }=\gamma _{1}+\gamma _{2}-z_{\infty }.$$

Isso nos permite derivar uma fórmula para a conversão entre k e $z_{\infty }$ dados $\gamma _{1},\gamma _{2}$: $$z_{\infty }={\frac {k\gamma _{1}-\gamma _{2}}{1-k}}$$ $$k={\frac {\gamma _{2}-z_{\infty }}{\gamma _{1}-z_{\infty }}}={\frac {Z_{\infty }-\gamma _{1}}{Z_{\infty }-\gamma _{2}}}={\frac {a-c\gamma _{1}}{a-c\gamma _{2}}},$$ que se reduz a: $$k={\frac {(a+d)+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{(a+d)-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}}.$$

A última expressão coincide com uma das razões (mutuamente recíprocas) de autovalor ${\textstyle {\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$ de ${\mathfrak {H}}$. Seu polinômio característico é igual a: $$\det(\lambda I_{2}-{\mathfrak {H}})=\lambda ^{2}-\operatorname {tr} {\mathfrak {H}}\,\lambda +\det {\mathfrak {H}}=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)$$ que possui raízes: $$\lambda _{i}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2}}=c\gamma _{i}+d\,.$$

Transformações de Möbius simples e composição

Uma transformação de Möbius pode ser composta como uma sequência de transformações simples.

As seguintes transformações simples também são transformações de Möbius:

• $f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)$ é uma translação.
• $f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)$ é uma combinação de uma homotetia (escala uniforme) e uma rotação. Se $|a|=1$, então é uma rotação; se $a\in \mathbb {R}$, então é uma homotetia.
• $f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ (inversão e reflexão em relação ao eixo real).

Composição de transformações simples

Se $c\neq 0$, defina as seguintes funções:

• $f_{1}(z)=z+d/c\quad$ (translação por d/c)
• $f_{2}(z)=1/z\quad$ (inversão e reflexão em relação ao eixo real)
• $f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad$ (homotetia e rotação)
• $f_{4}(z)=z+a/c\quad$ (translação por a/c)

Então estas funções podem ser compostas, mostrando que, se $$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},$$ tem-se $$f=f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}.$$

Em outros termos, a decomposição em frações parciais resulta em: $${\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {e}{z+{\frac {d}{c}}}},$$ com a constante $$e={\frac {bc-ad}{c^{2}}}.$$

Esta decomposição torna óbvias muitas propriedades da transformação de Möbius, como a preservação de círculos e a conformalidade, uma vez que cada componente individual da composição preserva essas propriedades.

Propriedades elementares

Uma transformação de Möbius é equivalente a uma sequência de transformações mais simples. A composição torna muitas propriedades da transformação de Möbius óbvias.

Fórmula para a transformação inversa

A existência da transformação de Möbius inversa e sua fórmula explícita são facilmente derivadas pela composição das funções inversas das transformações mais simples. Ou seja, defina funções g₁, g₂, g₃, g₄ tais que cada g_i seja a inversa de f_i. Então a composição $$g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)=f^{-1}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}$$ fornece uma fórmula para a inversa.

Preservação de ângulos e círculos generalizados

A partir desta decomposição, vemos que as transformações de Möbius herdam todas as propriedades não triviais da inversão do círculo. Por exemplo, a preservação de ângulos é reduzida a provar que a inversão do círculo preserva ângulos, uma vez que os outros tipos de transformações são dilatações e isometrias (translação, reflexão, rotação), que trivialmente preservam ângulos.

Além disso, as transformações de Möbius mapeiam círculos generalizados (círculos ou retas) em círculos generalizados, já que a inversão do círculo possui esta propriedade. Um círculo generalizado é ou um círculo ou uma reta, sendo esta última considerada como um círculo que passa pelo ponto no infinito. Note que uma transformação de Möbius não mapeia necessariamente círculos em círculos e retas em retas: ela pode misturar os dois. Mesmo que mapeie um círculo em outro círculo, não mapeia necessariamente o centro do primeiro círculo no centro do segundo círculo.

Preservação da razão cruzada

Razões cruzadas são invariantes sob transformações de Möbius. Isto é, se uma transformação de Möbius mapeia quatro pontos distintos $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ em quatro pontos distintos $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$ respectivamente, então $${\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}.$$

Se um dos pontos $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ for o ponto no infinito, então a razão cruzada deve ser definida tomando o limite apropriado; por exemplo, a razão cruzada de $z_{1},z_{2},z_{3},\infty$ é $${\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.$$

A razão cruzada de quatro pontos diferentes é real se e somente se houver uma reta ou um círculo passando por eles. Esta é outra maneira de mostrar que as transformações de Möbius preservam círculos generalizados.

Conjugação

Dois pontos z₁ e z₂ são conjugados em relação a um círculo generalizado C se, dado um círculo generalizado D passando por z₁ e z₂ e cortando C em dois pontos a e b, (z₁, z₂; a, b) estão em razão cruzada harmônica (ou seja, sua razão cruzada é −1). Esta propriedade não depende da escolha do círculo D. Esta propriedade também é às vezes referida como sendo simétrica em relação a uma reta ou círculo.

Dois pontos z, z^∗ são conjugados em relação a uma reta se forem simétricos em relação à reta. Dois pontos são conjugados em relação a um círculo se forem trocados pela inversão em relação a esse círculo.

O ponto z^∗ é conjugado a z quando L é a reta determinada pelo vetor baseado em e^iθ, no ponto z₀. Isso pode ser dado explicitamente como $$z^{*}=e^{2i\theta }\,{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}.$$

O ponto z^∗ é conjugado a z quando C é o círculo de raio r, centrado em z₀. Isso pode ser dado explicitamente como $$z^{*}={\frac {r^{2}}{\overline {z-z_{0}}}}+z_{0}.$$

Como as transformações de Möbius preservam círculos generalizados e razões cruzadas, elas também preservam a conjugação.

Representações matriciais projetivas

Isomorfismo entre o grupo de Möbius e PGL(2, C)

A ação natural de PGL(2, C) na reta projetiva complexa CP¹ é exatamente a ação natural do grupo de Möbius na esfera de Riemann.

Correspondência entre a reta projetiva complexa e a esfera de Riemann

Aqui, a reta projetiva CP¹ e a esfera de Riemann são identificadas da seguinte forma: $$[z_{1}:z_{2}]\ \thicksim {\frac {z_{1}}{z_{2}}}.$$

Aqui [z₁:z₂] são coordenadas homogêneas em CP¹; o ponto [1:0] corresponde ao ponto ∞ da esfera de Riemann. Ao usar coordenadas homogêneas, muitos cálculos envolvendo transformações de Möbius podem ser simplificados, uma vez que não são necessárias distinções de casos lidando com ∞.

Ação de PGL(2, C) na reta projetiva complexa

Cada matriz complexa 2×2 invertível $${\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$$ age na reta projetiva como $$z=[z_{1}:z_{2}]\mapsto w=[w_{1}:w_{2}],$$ onde $${\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}az_{1}+bz_{2}\\cz_{1}+dz_{2}\end{pmatrix}}.$$

O resultado é, portanto, $$w=[w_{1}:w_{2}]=[az_{1}+bz_{2}:cz_{1}+dz_{2}]$$

O qual, usando a identificação acima, corresponde ao seguinte ponto na esfera de Riemann:

$$w=[az_{1}+bz_{2}:cz_{1}+dz_{2}]\thicksim {\frac {az_{1}+bz_{2}}{cz_{1}+dz_{2}}}={\frac {a{\frac {z_{1}}{z_{2}}}+b}{c{\frac {z_{1}}{z_{2}}}+d}}.$$

Equivalência com uma transformação de Möbius na esfera de Riemann

Como a matriz acima é invertível se e somente se seu determinante ad − bc não for zero, isso induz uma identificação da ação do grupo de transformações de Möbius com a ação de PGL(2, C) na reta projetiva complexa. Nesta identificação, a matriz acima ${\mathfrak {H}}$ corresponde à transformação de Möbius $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.$

Esta identificação é um isomorfismo de grupo, pois a multiplicação de ${\mathfrak {H}}$ por um escalar não nulo $\lambda$ não altera o elemento de PGL(2, C) e, como esta multiplicação consiste em multiplicar todas as entradas da matriz por $\lambda ,$ isso não altera a transformação de Möbius correspondente.