Transformação de cisalhamento

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Mesh Shear 5/4
Um cisalhamento horizontal do plano com coeficiente m = 1.25, ilustrado por seu efeito (em verde) em uma grade retangular e algumas figuras (em azul). O ponto preto é a origem.

Em geometria plana, uma transformação de cisalhamento é uma transformação linear, que desloca cada ponto em uma direção fixada, por um montante proporcional à sua distância com sinal de uma reta que é paralela à direção.[1]

Um exemplo é a transformação que leva qualquer ponto com coordenadas para o ponto . Neste caso, o deslocamento é horizontal, a reta fixada é o eixo , e a distância com sinal é a coordenada . Note que pontos de lados opostos da reta de referência são deslocados em sentidos opostos.

Transformações de cisalhamento não devem ser confundidas com rotações. A aplicação de um cisalhamento a um conjunto de pontos do plano irá alterar todos os ângulos entre eles (exceto ângulos retos), e o comprimento de qualquer segmento de reta que não é paralelo à direção de deslocamento. Portanto, elas normalmente distorcerão a forma de uma figura geométrica, por exemplo, transformando quadrados em paralelogramos não-quadrados, e círculos em elipses. No entanto, um cisalhamento preserva a área de figuras geométricas e o alinhamento e distâncias relativas de pontos colineares. Uma transformação de cisalhamento é a principal diferença entre os estilos de letras vertical e inclinada (ou itálico).

Em dinâmica de fluidos de uma transformação de cisalhamento representa o fluxo de fluido entre as placas paralelas em movimento relativo.

A mesma definição é utilizada na geometria tridimensional, exceto que a distância é medida a partir de um plano fixo. Uma transformação de cisalhamento no espaço tridimensional preserva o volume de figuras sólidas, mas altera as áreas de figuras planas (exceto aquelas que são paralelas ao deslocamento). Esta transformação é usada para descrever o fluxo laminar de um fluido entre placas, uma se movendo em um plano  paralelo e acima da primeira.

No espaço Cartesiano geral -dimensional a distância é medida a partir de um hiperplano fixo paralelo à direção de deslocamento. Esta transformação geométrica é uma transformação linear de que preserva a medida -dimensional (hipervolume) de qualquer conjunto.

Definição[editar | editar código-fonte]

Cisalhamento horizontal e vertical do plano[editar | editar código-fonte]

Através de uma transformação de cisalhamento codificada em SVG,
um retângulo se torna um paralelogramo.

No plano , um cisalhamento horizontal (ou cisalhamento paralelo ao eixo x) é uma função que leva um ponto genérico de coordenadas para o ponto ; em que é um parâmetro fixo, chamado fator de cisalhamento.

O efeito desta transformação é o deslocamento de cada ponto horizontalmente por uma quantidade proporcionalmente à sua coordenada . Qualquer ponto acima do eixo é deslocado para a direita (aumentando ) se , e para a esquerda se Os pontos abaixo do eixo se movimentam no sentido oposto, enquanto que os pontos sobre o eixo permanecem fixos.

As retas paralelas ao eixo permanecem onde estão, enquanto todas as outras retas são giradas, através de vários ângulos, sobre o ponto em que elas cruzam o eixo . As retas verticais, em particular, tornam-se retas oblíquas com inclinação . Portanto, o fator de cisalhamento é a cotangente do ângulo segundo o qual as retas verticais são inclinadas, o chamado ângulo de inclinação.

Se as coordenadas de um ponto forem escritas como um vetor coluna (uma matriz 2×1), a transformação de cisalhamento pode ser escrita como uma multiplicação por uma matriz 2×2:

Um cisalhamento vertical (ou cisalhamento paralelo ao eixo ) de retas é semelhante, exceto pelo fato de que os papéis de e de são trocados. Isto corresponde a multiplicar o vetor de coordenadas pela transposta da matriz:

O cisalhamento vertical desloca pontos à direita do eixo para cima ou para baixo, dependendo do sinal de . Ele deixa as linhas verticais invariantes, mas inclina todas as outras retas no ponto em que elas encontram o eixo . Linhas horizontais, em particular, são inclinadas pelo ângulo de inclinação para se tornar retas com inclinação .

Transformações de cisalhamento gerais[editar | editar código-fonte]

Para um espaço vetorial V e um subespaço W, um cisalhamento que fixa W translada todos os vetores paralelamente a W.

Mais precisamente, se V é a soma direta de W e W', e os vetores de V são escritos como

v = w + w'

respectivamente, um típico cisalhamento que fixa W é L onde

L(v) = (w + Mw') + w '

em que M é uma transformação linear de W' em W. Portanto, em termos de matriz em blocos L pode ser representada como

Aplicações[editar | editar código-fonte]

As seguintes aplicações das transformações de cisalhamento foram observadas por William Kingdon Clifford:

Uma sucessão de cisalhamentos nos permite reduzir qualquer figura delimitada por linhas retas a um triângulo de mesma área.
... podemos cisalhar qualquer triângulo transformando-o em um triângulo retângulo, e isto não alterará a sua área. Assim, a área de qualquer triângulo é metade da área do retângulo com a mesma base e a altura igual à perpendicular a base do ângulo oposto.[2]

A preservação da área por cisalhamentos é uma propriedade que pode ser usada para obter resultados envolvendo áreas. Por exemplo, o teorema de Pitágoras foi ilustrado com transformações de cisalhamento.[3]

Um algoritmo devido a Alan W. Paeth utiliza uma sequência de três transformações de cisalhamento (horizontal, vertical e novamente horizontal) para girar uma imagem digital por um ângulo arbitrário. O algoritmo é muito simples de implementar, e muito eficiente, uma vez que cada etapa processa apenas uma coluna ou uma linha de pixels de cada vez.[4]

O texto em itálico pode ser pensado como o resultado de aplicar um cisalhamento ao texto normal.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Definition according to Weisstein, Eric W. Shear From MathWorld − A Wolfram Web Resource
  2. William Kingdon Clifford (1885) Common Sense and the Exact Sciences, page 113
  3. Hohenwarter, M Pythagorean theorem by shear mapping; made using GeoGebra.
  4. Alan Paeth (1986), A Fast Algorithm for General Raster Rotation.