Transformada binomial

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Em matemática, no campo da combinatória, a transformada binomial é uma seqüência de transformações, ou seja, uma transformação de uma seqüência, que obtém-se calculando suas diferenças anteriores. Está relacionada com a transformada de Euler, que é o resultado de aplicar a transformada binomial à seqüência associada com a função geratriz ordinária. Às vezes, um caso especial de transformada de Euler é utilizado para acelerar a soma de séries alternadas. Outro caso especial aplica-se à série hipergeométrica.

Definição[editar | editar código-fonte]

A transformada binomial, T, de uma seqüência, , é a seqüência definida como

Formalmente, a transformação escreve-se como , onde T é um operador de dimensão infinita com uma matriz de elementos :

A transformada é uma involução, ou seja,

ou, em notação indexada,

sendo δ a função delta de Kronecker. Pode-se recuperar a série original com

A transformada binomial de uma seqüência é a n-ésima diferença anterior da seqüência, igual a

. . .

onde Δ é o operador de diferença anterior.

Alguns autores definem a transformada binomial com um sinal adicional, de maneira que não seja inversa consigo mesma:

cuja inversa é

Transformada de Euler[editar | editar código-fonte]

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A relação entre as funções de geração ordinárias é às vezes chamada a transformada de Euler. Existem dois tipos. Em uma de suas formas, é utilizada para acelerar a convergência de uma série alternada. É dizer que uma tem a seguinte identidada

que obtém-se substituindo x=1/2 na expressão anterior. No geral os termos do lado direito da igualdade, reduzem-se de forma muito mais rápida, permitindo desta maneira uma soma numérica rápida.

Também é freqüente a aplicação da transformada de Euler à série hipergeométrica . Neste caso, a transformada de Euler toma a siguinte forma:

A transformada binomial, e sua variação à transformada de Euler, destacam-se por sua conexão com a representação de um número mediante fração contínua. Seja tal que sua representação em fração contínua é

então

e

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

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