Transformada de Fourier de curto termo

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Em matemática, a transformada de Fourier de curto termo ou transformada de Fourier de tempo curto (STFT, do inglês short-term Fourier transform ou short-time Fourier transform[nota 1]) é uma transformada integral derivada da transformada de Fourier. Ao contrário da maioria das transformadas integrais, que se aplicam a funções estacionárias, isto é, funções cujo espectro de frequências é fixo, a STFT se aplica a funções cujo espectro varia com o tempo (não-estacionárias).

A técnica consiste em uma análise espectral dependente do tempo: o intervalo de suporte da função é particionado em intervalos menores, de forma que o espectro possa ser considerado constante no interior de cada um deles; uma variação da transformada de Fourier é então aplicada a cada intervalo. O primeiro a propor tal enfoque foi Dennis Gabor, em 1946. A chamada transformada de Gabor, ou transformada de Fourier de janela deslizante, é hoje considerada um caso especial da mais geral transformada de Fourier de curto termo.

A transformada de Fourier de curto termo mapeia uma função real unidimensional f(t) em uma função complexa F(Ω,τ) definida num espaço bidimensional; em aplicações físicas, em geral a grandeza correspondente às variáveis t e τ é o tempo, e a grandeza correspondente à variável Ω é a chamada frequência angular[1]. Assim, a STFT é uma forma de representação tempo-frequência (TFR, ing. time-frequency representation) para uma dada função, ao contrário da transformada de Fourier, que é uma representação apenas em frequência. Outras formas de TFRs são a distribuição de Wigner, o espectrograma, a distribuição Altes Q e a forma unitária da distribuição P de Bertrand[2].

Como ocorre com outras transformadas, também para esta existe uma versão discreta, mais adequada ao processamento digital (ver abaixo).


Definições[editar | editar código-fonte]

Janela deslizante[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier de janela deslizante de uma função real f(t) é dada pela expressão



onde g(t) é uma função de quadrado integrável com suporte limitado a um intervalo de comprimento Δt, e * denota o conjugado complexo. A expressão (1a) também pode ser escrita da maneira seguinte:

onde o operador <,> denota o chamado produto interno de duas funções.

As diversas funções g(t - τ)·eiΩt são as chamadas funções de Gabor para o problema. O conjunto de funções deriva de uma função básica g(t) que vai sendo deslocada ao longo do eixo t em passos de tamanho τ; esse conjunto constitui, quando g(t) é adequadamente escolhida, uma base ortogonal para a decomposição da função f(t).

A transformada de Fourier do produto h(t) = g(t)·eiΩt, com relação à variável t, é dada por


onde é a transformada de Fourier de g(t). A expressão (2a) mostra que, no domínio da frequência, o fator eiΩt equivale também a translações, desta vez do espectro de frequências de f(t) ao longo do eixo ω, em passos de tamanho Ω; no domínio do tempo, esse fator corresponde a um deslocamento de fase de f(t) por um ângulo θ = Ω·t[1].

Se a condição adicional



onde é a energia da função g(t), for cumprida, então as funções de Gabor formam uma base ortonormal (e não apenas ortogonal) e a transformada inversa é dada pela equação


[3].


A equação (1a) tem a forma de uma integral de convolução. É sabido, em análise de sinais, que a operação de convolução causa um embaçamento (ing. blurring) no sinal. Neste caso, o que acontece pode ser descrito como uma interferência mútua entre os espectros do sinal analisado f(t) e a função g(t). As propriedades da transformada de Fourier permitem escrever as seguintes relações, para uma função qualquer h(t)



onde é o n-ésimo momento da função h(x)[nota 2] e Δt e Δω é o tamanho do intervalo de suporte nos domínios do tempo e da frequência, respectivamente.

A equação (2c) permite calcular o tamanho τ adequado da janela deslizante de forma a que os espectros de f(t) e g(t) sejam disjuntos, eliminando o embaçamento[3].

Função básica[editar | editar código-fonte]

Outra relação importante, derivada das propriedades da transformada de Fourier, é a relação de incerteza



que também limita a acuidade da representação de um sinal por sua transformada[3]. Sabe-se que a igualdade na equação (2d) (e, portanto, o melhor desempenho) vale para uma função gaussiana. Assim, a primeira função básica proposta foi da forma



Para essa função básica, temos


[4].


Versão discreta[editar | editar código-fonte]

Se as variáveis t, τ e Ω, em lugar de serem quantidades contínuas, assumirem apenas valores discretos, múltiplos inteiros das quantidades δt, δτ e δΩ, respectivamente, obtemos a transformada discreta de Fourier de curto termo (DSTFT). Neste caso, valem todas as equações acima, com a devida substituição de variáveis (de t para j·δt, de τ para k·δτ, de Ω para l·δΩ e de ω para m·δω, respectivamente). As funções de Gabor, no caso discreto, são frequentemente denotadas por gk,l(j), e suas transformadas de Fourier, por . A escolha original de Gabor foi determinar que δτ·δΩ = 2π[4].

Quando os primeiros momentos de |g(t)|2 e de são nulos, a função g(t) e seu espectro estão centralizados com relação à origem dos eixos t e ω, respectivamente. Os primeiros momentos das funções de Gabor serão então


[4]


A STFT como um filtro[editar | editar código-fonte]

Uma equação de definição alternativa é obtida mediante a aplicação do teorema de Parseval a (1a)



Aplicando agora as propriedades do escalamento e do deslocamento da transformada de Fourier



que permite a interpretação da transformada como a aplicação de um sinal f(t) a um filtro passa-faixa centrado na frequência Ω. Assim, a STFT pode ser pensada tanto como a representação do conteúdo espectral do sinal de entrada em cada instante, que é a interpretação de (1a), quanto como a representação das flutuações do espectro desse sinal em cada frequência, que é a interpretação de (1e)[5].

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A propriedade mais notável da transformada de Fourier de curto termo é ser linear. Outra propriedade importante é o fato de sua interpretação matemática ser bastante intuitiva. Apesar de as funções envolvidas serem complexas, as variáveis são reais e possuem um significado físico direto.

A grande desvantagem da STFT é o fato de sua grade analítica ser regularmente espaçada, de acordo com a expressão (2f). Isso impede que se faça uma ampliação da escala em pontos selecionados, tais como singularidades, descontinuidades e bordas, de forma a obter-se maior riqueza de detalhes[6]. A relação de incerteza impede que os intervalos sejam otimizados para obter-se precisão nos domínios do tempo e da frequência ao mesmo tempo; um compromisso sempre se faz necessário. Outra desvantagem é que o suporte da transformada é maior que o da função original.

Devido a essas limitações, a STFT encontra emprego apenas na análise de sinais cujo espectro varia lentamente com o tempo, os chamados sinais quase estacionários[5].

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Cálculo de transformada direta[editar | editar código-fonte]

Como primeiro exemplo, calculemos a STFT da função impulso unitário, considerando a função básica original de Gabor, aplicando a equação (1a)



Como segundo exemplo, calculemos a STFT de uma função exponencial complexa, ainda considerando a função básica original de Gabor. Neste caso, é melhor usar a equação (1e), porque a transformada de Fourier de f(t) será um degrau



[5]


Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Em inglês, também se usa a expressão Windowed Fourier Transform (WFT).
  2. É evidente que o 0-ésimo momento de |h(x)|2 é exatamente a energia de h(x).


Referências

  1. a b Sheng Y. - Wavelet Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 10, pág. 868
  2. G. Boudreaux-Bartels - Mixed Time-Frequency Signal Transformations in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 12, pág. 1027
  3. a b c Sheng Y. - op. cit., Cap. 10, pág. 869
  4. a b c Sheng Y. - op. cit., Cap. 10, pp. 870 a 871
  5. a b c G. Boudreaux-Bartels - op. cit., Cap. 12, pág. 1028 Erro de citação: Código <ref> inválido; o nome "Bartels1028" é definido mais de uma vez com conteúdos diferentes
  6. Sheng Y. - op. cit., Cap. 10, pp. 878 a 879


Ver também[editar | editar código-fonte]