Transformada de Haar

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Wavelet de Haar.

A Transformada de Haar é um transformada matemática discreta usada no processamento e análise de sinais, na compressão de dados e em outras aplicações de engenharia e ciência da computação. Ela foi proposta em 1909 pelo matemático húngaro Alfred Haar. A transformada de Haar é um caso particular de transformada discreta de wavelet, onde o wavelet é um pulso quadrado definido por:

Na figura vemos ilustrada a wavelet de Haar. Apesar de ter sido proposta muito antes do termo wavelet[1] ser cunhado, a wavelet de Haar é considerada como um caso particular das wavelets de Daubechies, conhecida por isso como wavelet de Daubechies D2.

A transformada de Haar pode ser usada para representar um grande número de funções como sendo o somatório:

onde é a função de escala definida por e e são parâmetros a serem calculados.

Por exemplo, a função degrau definida por:

pode ser representada como . O seja os parâmetros e , e e para . O vetor equivale a transformada discreta de Haar da função f(t), que pode ser representada também na forma vetorial como .

Representação matricial[editar | editar código-fonte]

Como vimos acima, a transformada de Haar em sua forma discreta pode ser expressa como uma multiplicação matricial. No exemplo citado acima temos:

dando a matriz como sendo:

E assim a transformada inversa de Haar se torna:

Entretanto a matriz é difícil de ser calculada, mas sabemos que se a matriz for ortonormal sua inversa é igual a sua transposta. Assim podemos utilizar a matriz:

para a a transformada de Haar discreta, sendo sua inversa .

Assim, a transformada discreta de Haar em sua forma matricial pode ser expressa por uma matriz de tamanho onde os elementos são definidos como

onde

e onde , para , e para

Assim, a matriz do nosso exemplo passa a ser:

Transformada rápida de Haar[editar | editar código-fonte]

Na prática a transformada de Haar consiste em calcular a soma e a diferença entre os elementos de um vetor dois a dois. Assim, definimos a transformada rápida de Haar de um vetor como os dois vetores e .

A transformada inversa simplesmente recalcula os valores originais a partir da média e das diferenças. A transformada inversa recebe então os vetores e devolve um vetor :

Notas e referências[editar | editar código-fonte]

  1. A transformada foi proposta por Alfred Haar em 1909 e o termo Wavelet só viria mais tarde. (ver en:Haar wavelet)

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • (em inglês) SALOMON, David (2000). Data Compression. The Complete Reference 2 ed. Springer [S.l.] 

Ver também[editar | editar código-fonte]

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