Transformada de Laplace

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Em matemática, a transformada de Laplace é uma transformada integral epónimo a seu descobridor, o matemático e astrônomo Pierre-Simon Laplace (/ləˈplɑːs/), que utilizou uma forma semelhante em seus trabalhos de Teoria da Probabilidade. Sua teoria foi mais a fundo desenvolvida entre o século 19 e o início do século 20 por Matyáš Lerch, Oliver Heaviside e Thomas John I'Anson Bromwich.

A transformada gera uma função de variável (frequência) a partir de uma função de variável (tempo) e vice-versa.

Dada uma simples descrição matemática ou funcional de entrada ou saída de um sistema, a transformada de Laplace fornece uma descrição alternativa que, em um grande número de casos, diminui a complexidade do processo de análise do comportamento do sistema ou em sintetizar um novo sistema baseado em características específicas. Nesse sentido, a transformada de Laplace converte equação diferencial em equação algébrica e convolução em multiplicação.

A atual aplicação da transformada (principalmente em engenharia) foi inicialmente descoberta durante a Segunda Guerra Mundial e substituiu o Cálculo operacional.

Quando fala-se em "transformada de Laplace" sem especificação, geralmente refere-se à forma unilateral. A transformada de Laplace é originalmente definida pela forma bilateral, em que e . Assim, a transformada unilateral em que qualquer argumento é múltiplo da função de Heaviside, torna-se apenas um caso especial devido ao intervalo de domínio da função de Heaviside.
A transformada de Laplace da função é uma função de ,que representa a frequência, utilizamos então como notação a letra maiúscula para a transformada e letra minúscula para a função.

Ex: ou .

Para calcular a transformada de Laplace de uma função aplicamos a integral e definimos algumas condições para podermos tirar o limite.

Ex:

, porém esse limite só existe se o .

Então conclui-se que:

Agora se considerarmos que realizando as integrações necessárias (por partes) concluímos que:

=

=

=

Com isso concluímos uma expressão para a transformada de :

A transformada de Laplace possui diversas aplicações na ciência e na tecnologia.

Índice

Região de convergência[editar | editar código-fonte]

Dada um função em que a sua integral é definida por: definida somente para números reais positivos, e se convergir para algum valor, a integral será a transformada de Laplace da função . Que é representada por .

Condição de existência[editar | editar código-fonte]

A integral que define a transformada de Laplace nem sempre converge e, nesse caso, dizemos que a função não possui transformada de Laplace. As funções e são algumas funções que não possuem transformada de Laplace.

Dizemos que uma função é de ordem exponencial se existem constantes , e tal que , .

As funções , e são de ordem exponencial pois

Tal teorema apresenta condições suficientes para existência da transformada de Laplace. Estas condições não são, contudo, necessárias. Por exemplo, a função não é contínua na origem(sequer é limitada quando ) mas admite uma transformada de Laplace.


Comportamento no Infinito:



Demonstração: Por definição,



Estabelecendo u = s.t , obtemos:



Considerando que é limitada, existe tal que , portanto



Logo, quando resultando



Função de Heaviside[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Função de Heaviside

A função de Heaviside é nula para um argumento negativo, unitária para um argumento positivo, respeita a relação e pode ser definida como

Ao efetuar-se a mudança de variável , obtém-se a função de Heaviside com descontinuidade em :

Torna-se, naturalmente, importante notar que a função de Heaviside não existe em . Para isso, quando for necessário defini-la neste ponto, toma-se a "função rampa" como aproximação contínua:

Talvez a mais importante aplicação da função da Heaviside seja a função pulso.

Função Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Delta de Dirac

Para entender matematicamente a função Delta de Dirac, é conveniente utilizar a função de Heaviside, com a condição de que , ou seja,

Analogamente à função de Heaviside, para representar um impulso num instante de tempo que não zero, realiza-se um deslocamento na equação,
Considera-se então o Delta como o limite da função em um curto curto intervalo de tempo, quando o parâmetro tende a zero, isto é,

Assim, define-se a função Delta de Dirac como

Algumas propriedades fundamentais do Delta de Dirac para a transformada de Laplace são:

Filtragem[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Filtragem

Transformada do Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Transformada de Laplace do Delta de Dirac

Aplicação do Delta de Dirac
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Uma aplicação em engenharia para a função Delta de Dirac, se dá na utilização da Equação do Helmholtz, usada para cálculos de um sistema barragem albufeira, na qual o termo Albufeira significa uma área coberta de água, que foi retida pela construção de uma barragem ou até mesmo uma represa num rio, formando uma espécie de lago artificial. Pode ser também utilizada para modelagem de águas subterrânea principalmente de aquíferos, onde a função representa a vazão bombeada por um poço em um ponto específico.

Tabela de Teoremas e Propriedades[editar | editar código-fonte]

Domínio do Tempo Domínio s Comentários
LinearidadeProva pela lei básica de integração
Derivada no Domínio da frequência
Derivada Geral do Domínio da frequência forma geral da derivada de n
Derivadaf é assumido como uma função diferenciável, e sua derivada é assumida como sendo do tipo exponencial. Isso pode ser obtido pela integração por partes
Segunda derivada f é assumido duas vezes diferenciável e a segunda derivada para ser do tipo exponencial. Segue aplicando a propriedade diferenciação para f′(t).
f s assumido como sendo n-diferenciável, com enésima derivada do tipo exponencial. Segue por indução matemática.
Isso é deduzido usando a natureza da diferenciação de freqüência e convergência condicional.
Integração do Tempo u(t) e a função de Heaviside (u ∗ f)(t)e e a Convolução de u(t) e f(t).
Mudança de frequência
Mudança de Tempo
u(t) função de Heaviside
escalamento de tempo
Multiplicação
Convolução
Relação Cruzada
Função periódica f(t) é uma função periódica do período T então f(t) = f(t + T), para todo t ≥ 0. isto e o resultado da mudança do tempo e a propriedade series geométricas.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A transformada de Laplace possui inúmeras propriedades operacionais que permitem a existência tanto da transformada direta quanto da inversa, para uma ampla gama de funções observadas na ciência. Suas propriedades são:

Linearidade[editar | editar código-fonte]

A transformada de Laplace é um operador linear:

Demonstração (REAMAT):

Portanto, tem-se que:

Método das frações parciais para calcular transformadas inversas
[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da derivada


Suponha que P(X) e Q(x) são polinômios tais que o grau de P é menor que o grau de Q. O polinômio Q(x) pode ser fatorado em polinômios de graus um e dois:

com isso podemos encontrar constantes tais que:

esse método é usado para calcular integrais de funções racionais e transformadas inversas de Laplace.

Transformada de Laplace de uma derivada[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da derivada

Transformada de Laplace de uma integral[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da integral

Deslocamento no tempo[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade do deslocamento no tempo

Deslocamento na frequência[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade do deslocamento na frequência

Conhecida como deslocamento ou translação do eixo s, é possível conhecer a transformada de múltiplos exponenciais de uma função desde que conheçamos a sua transformada, isto é,

Teorema da Convolução[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Teorema do produto de Convolução

Transformada de Laplace de uma função de período T[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Transformada de Laplace de uma função periódica

Se é uma função contínua por partes, de ordem exponencial e periódica de período . Então a transformada de Laplace existe e é da forma

Derivada da transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

Transformada de Fourier[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier continua e equivalente a avaliação bilateral da transformada de Laplace com argumentos imaginários [1]

A definição de Fourier requer o prefixo na função reversa da transformada de fourier. Esta relação entre as transformadas de Fourier e Laplace e comumente usada para determinar o espectro de frequência de um sinal ou de um sistema dinâmico

A relação a cima e valida somente se a região de convergência de F(s) contem o eixo imaginário,

Integral da transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

Tabela de transformadas de Laplace[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lista de transformadas de Laplace

A tabela provê as transformadas de Laplace para as funções mais comuns de uma variável.[2][3] Para definições e exemplos, veja a nota explanatória no fim da tabela.

Porque a transformada de Laplace é um operador linear:

A transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas de Laplace de cada termo.

A transformada de Laplace de um múltiplo de uma função é o múltiplo vezes a transformada de Laplace da função.

Tabela resumida de transformações[editar | editar código-fonte]

Função Domínio de tempo

Laplace s-domínio

Região de Convergência Referência
impulso unitário todo s inspeção
impulso atrasado mudança de tempo do

impulso unitário

Degrau Unitário Re(s) > 0 integral do impulso unitário
Função Constante Re(s) > 0 Convolução
Degrau atrasado Re(s) > 0 mudança de tempo do

passo único

Função Rampa Re(s) > 0 integral do impulso

unitário duas vezes

n-ésima potência

( para n inteiro)

Re(s) > 0

(n > −1)

Integral do passo

único n vezes

q-ésima potência

(para q complexo)

Re(s) > 0

Re(q) > −1

[4][5]
Re(s) > 0 Deixe q = 1/n acima.
n-ésima potência com mudança de frequênciaRe(s) > −αIntegral do passo único

aplique a mudança de frequência

n-ésima potência atrasada

com mudança de frequência

Re(s) > −α Integral do passo único,

aplique a mudança de frequência, aplique a mudança de tempo

Decaimento exponencial Re(s) > −α Mudança de frequência do

passo único

Decaimento exponencial bilateral −α < Re(s) < α Mudança de frequência do

passo único

Exponencial genérica Re(s) > ln(a) Adaptação da transformada do decaimento exponencial
aproximação exponencial Re(s) > 0 passo único menos

decaimento exponencial

Seno Re(s) > 0 Bracewell 1978, p. 227
Cosseno Re(s) > 0 Bracewell 1978, p. 227
Seno hiperbólico Re(s) > |α| Williams 1973, p. 88
Cosseno hiperbólico Re(s) > |α| Williams 1973, p. 88
decaimento exponencial

onda senoidal

Re(s) > −α Bracewell 1978, p. 227
decaimento exponencial

onda cossenoidal

Re(s) > −α Bracewell 1978, p. 227
Logaritmo natural Re(s) > 0 Williams 1973, p. 88
Nota explicatória:

Usando a propriedade da linearidade e as relações/identidades trigonométricas, hiperbólicas e complexas, algumas transformadas de Laplace podem ser obtidas de outras mais rápida do que diretamente pela definição.

A unilateralidade da transformada de Laplace toma como entrada uma função cujo. Este é o motivo de todas as funções no domínio de tempo na tabela abaixo serem múltiplas da função de Heaviside, . As entradas desta tabela que envolvem um tempo de atraso são obrigadas a serem causais. Um sistema causal é um sistema em que a resposta ao impulso é nulo para todo tempo prévio a .

Aplicação: Oscilador Harmônico[editar | editar código-fonte]

Seja um sistema massa mola de equação = , onde é a massa, é a constante de hooke para a mola e é a constante de atrito.

Os valores iniciais são:

= posição inicial

= velocidade inicial

Usansdo a propriedade da Transformada de Laplace de uma derivada temos

- - + + - =.

Agora, isolando e supondo o termo forçante = 0, tem-se:


=


A solução do problema pode ser representado por =

O sistema massa mola pode ser dividido em cinco situações:

i) Oscilador harmônico forçado: Quando há força externa:

ii) Oscilador harmômico livre: Quando não há força externa:

iii) Subarmotecido livre: Quando

iv) Superamortecido livre ():

v) Criticamente amortecido livre :

Transformada de Laplace para séries de potências[editar | editar código-fonte]

Temos a Função de Bessel de ordem zero dada por:

Calculando a transformada, temos:

Logo,

Podemos também demonstrar a transformada de uma função t(k) que leva à Função gama . Para k>0, temos que:

Onde:

Aplicando a Transformada de Laplace, temos:

Obtemos com a seguinte mudança de variáveis  :

Aplicações em equações diferenciais[editar | editar código-fonte]

Fluxograma que representa o caminho para a obtenção de uma solução.

Artigo principal: Transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais

As diversas propriedades da transformada de Laplace possibilitam a transformação de um grande número de equações diferenciais ordinárias em simples equações algébricas lineares. Alguns tipos mais comuns de equações diferenciais são: Equação diferencial ordinária com coeficientes constantes

Artigo principal: Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes

Exemplo:

Equação diferencial ordinária com coeficientes não constantes

Artigo principal: Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis

Exemplo:

Sistema linear de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes

Artigo principal: Sistema linear de equações diferenciais ordinárias

Exemplo:

Sistema linear de equações diferenciais ordinárias com coeficientes não constantes

Artigo principal: Sistema linear de equações diferenciais ordinárias

Exemplo:

Em muitas ocasiões são necessários valores iniciais para uma resolução numérica dessas equações diferenciais.


Aplicação em Circuitos RL e RC[editar | editar código-fonte]

A aplicação da Transformação de Laplace para resolução de circuitos RL e RC é uma ferramenta interessante na resolução das equações diferenciais que expressam circuitos RC e RL, pois em determinados casos reduz a quantidade de análises e simplificações inerentes à resolução de circuitos baseado na Teoria de Circuitos. A exemplo do caso abaixo:

Considerando o circuito RL com duas malhas ao lado:

Modelo de Circuito RL com 2 malhas

Aplicando lei de Kirchhoff, temos as seguintes expressões:

Como a tensão no indutor é dada pela expressão:

Considerando

Chegamos as seguintes expressões:

- Dividindo as equações (I) e (II) e organizando-as temos:

Aplicando a Transformação de Laplace:

Chegamos então ao seguinte sistema:

Para exemplificar uma solução e a curva que refere-se a corrente i(t) no circuito, podemos tomar , para este caso temos a solução a seguir :

e , assim aplicando a Transformada de Laplace inversa, voltando para o domínio do tempo, temos a seguinte resposta:

e A

Como esperado, no domínio do tempo temos uma curva exponencial inicialmente e depois se torna constante, isso ocorre por que para o indutor se comporta como um curto circuito, sua corrente será constante.

Agora vamos considerar o circuito RC:

Ao circuito resistor/capacitor é aplicada uma tensão V(t) do tipo pulso:

,

ou seja, o circuito estava em repouso até t=a e tensão Vo foi aplicada entre t=a e t=b. O modelo para a corrente i(t) obedece a lei de Kirchoff:

,

onde q(t) é a carga no capacitor, 1/Cq(t) é a tensão no capacitor de capacitância C e Ri(t) é a tensão no resistor de resistência R. Vamos usar o fato de que e obtemos uma equação integral para i(t):

.

Para resolver esse problema de valor inicial, aplicamos a Transformada de Laplace e a propriedade da Transformada de Laplace da integral de uma função, que é:

e obtemos a seguinte expressão:

.

Fazendo , temos a seguinte equação subsidiária:

.

Logo,

.

A Transformada Inversa de é: . Fazendo obtemos:

.


Dessa forma, para calcular a função corrente i(t) usaremos a propriedade do deslocamento no eixo t da Transformada de Laplace:

A função corrente i(t) é:

.

Podemos escrever a equação para a função corrente i(t) em uma notação de função definida por partes, fazendo e :

Podemos observar que A>0, B>0 e A<B. Assim, para t>b a corrente é negativa e se aproxima exponencialmente de zero. Essa é a corrente de descarga.

Para obter a carga q(t) no capacitor, usamos que e obtemos a seguinte expressão, também em notação de função definida por partes:

Aplicação em Circuitos RLC de qualquer ordem[editar | editar código-fonte]

No estudo de circuitos elétricos aplica-se a Transformada de Laplace localmente em cada componente ao invés de aplicá-la em uma equação diferencial obtida desse mesmo circuito. Trabalhando dessa forma, o primeiro passo é transformar, pela aplicação de Laplace, o circuito dado no domínio tempo em um novo circuito no domínio frequência.

Abaixo seguem tabeladas as relações Volt-Ampere de resistor, capacitor e indutor no domínio tempo e suas correspondentes relações Volt-Ampere no domínio frequência. É fácil verificar que no domínio frequência todas as relações Volt-Ampere obedecem à Lei de Ohm, enquanto no domínio tempo as relações Volt-Ampere são relações integro-diferenciais. Portanto a aplicação da Transformada de Laplace na resolução de circuitos RL e RC é uma ferramenta dominante pela sua simplicidade, dado que pode-se aplicar no domínio frequência as mesmas técnicas simplificadoras de circuitos resistivos.


Circuitos Elétricos- Representação no domínio frequência (Laplace)

Componente Domínio tempo

Domínio frequência

Resistor
Capacitor
Indutor

Circuitos Elétricos com carga inicial nula- Impedâncias (Laplace)

Componente

sem carga

Domínio tempo

Domínio frequência

Resistor
Capacitor
Indutor


Exemplo de Circuito RC descarregado no domínio tempo:

Circuito RC de ordem 2 no domínio tempo

Circuito RC transformado para o domínio frequência :

Circuito RC de ordem 2 no domínio frequência

Circuito RC simplificado pelo paralelo de impedâncias:

Circuito RC de ordem 2 no domínio frequência após simplificação.

onde T1(s) é divisor de tensão de Ei(s)

Z(s) é o paralelo de com

Aplicando Z(s) em T1(s), resulta

Do circuito anterior à simplificação, combinado com o circuito simplificado, observa-se que

Onde T2(s) é divisor de tensão de E1(s)

Aplicando-se E1(s) em Eo(s) temos

onde

resultado em

que é a esperada função de transferência de ordem 2 de um circuito RC de ordem 2.

Finalmente, dado que no domínio tempo temos

obtêm-se no domínio frequência, pela aplicação da Transformada de Laplace

Cálculo em frequência da resposta ao Estado Zero (circuito descarregado em t=0)

Aplicando-se frações parciais obtêm-se

resultando

Cálculo da resposta do circuito RC no domínio tempo :

Basta aplicar a Transformada Inversa de Laplace

do que resulta

Conclusão

Neste exemplo optou-se pelo cálculo de eo(t) pela aplicação sucessiva (2 vezes) de divisor de tensão. Para obter-se e1(t), bastaria fazer a Transformada Inversa de Laplace de E1(s), já obtido no primeiro divisor de tensão.

Por outro lado, o cálculo de eo(t) poderia ter sido desenvolvido pela aplicação da técnica de Equivalente Thevenin ao circuito de Laplace, o que levaria de forma até mais simples aos resultados de T(s) e Eo(s).

Aplicação em circuitos RLC[editar | editar código-fonte]

Circuitos RLC são modelados comumente por equações diferenciais, os valores dos componentes que constituem o circuito(Capacitores, Resistores e Indutores) e a frequência da fonte determinam o tipo de resposta do mesmo: Superamortecida, subamortecida e criticamente amortecida. Em geral essas equações diferenciais são de segunda ordem ou maior e podem ser resolvidas semelhantemente à resolução de equações diferenciais aplicando Transformada de Laplace.

As seguintes equações modelam circuitos simples RLC paralelo e série respectivamente:

e

Aplicando transformada de Laplace, considerando i(0) = 0 e i'(0) = 0, v(0)=0 e v'(0) =0:

e

O que nos dá a seguinte equação característica:

=> Resposta Superamortecida

=> Critica

Complexos => Subamortecida


Aplicação no cálculo da deflexão em vigas sujeitas a cargas concentradas[editar | editar código-fonte]

Considere uma viga elástica horizontal de comprimento L de seção transversal e material elástico homogêneo. Se aplicarmos uma carga no plano vertical através da viga o eixo de simetria é dobrado. Colocamos o eixo horizontal  com origem no extremo a esquerda da viga e, portanto,  x= L é o outro extremo. Supomos que a viga está sujeita a uma carga  que provoca uma deflexão em cada ponto x [0,L] . Logo, para pequenas deflexões podemos aproximar a curvatura k(x) pela variação instantânea de , onde  é o ângulo entre o eixo x e a tangente, ou seja,[6]



Como



Como o é pequeno, , portanto



Derivamos



Substituímos na primeira equação, obtendo



Sendo E o módulo de Young, I o momento de inércia da viga e M(x) o momento fletor, substituímos a fórmula da lei de Hooke para materiais na equação anterior.

Lei de Hooke:




derivamos a equação duas vezes



Sabendo que a variação do momento de inércia M(x) é a força de cisalamento V(x)

e a variação da força de cisalamento é a carga

Logo,


Substituindo na equação anterior, temos a equação de Euler-Bernoulli



Consideraremos uma viga engastada, ou seja:



A carga está concentrada na posição e tem intensidade , sendo modelada pela seguinte expressão:



Aplicando a transformada de Laplace na equação que anteriormente foi derivada duas vezes, e usando o fato de que , obtemos



Substituindo , e onde e são constantes a determinar:



portanto:



Aplicação na Solução de Equações Diferenciais Parciais: corda semi-infinita[editar | editar código-fonte]

O método da resolução de equações diferenciais pela transformada de Laplace não está restrito apenas a equações diferenciais ordinárias. É possível também resolver certas equações diferenciais parciais. Esse método é conveniente quando pelo menos uma das variáveis independentes não assume valores negativos, pois pode-se tomar a transformada de laplace com respeito a essa variável e reduzi-la a uma equação diferencial ordinária na outra variável.

Para o caso de uma corda semi-infinita, deseja-se achar uma função que represente o deslocamento vertical de qualquer ponto da corda em qualquer instante de tempo . O problema está sujeito às seguintes condições:

Condições iniciais

  • A corda está inicialmente em repouso, ou seja:

  • A corda existe em (semi-infinita)

Condições de contorno

  • O ponto da corda em é excitado de maneira senoidal, ou seja:

  • Para valores muito distantes, em , o deslocamento da corda é nulo, formalmente:

Solução

A equação que descreve o problema é a conhecida equação da onda:

Onde é a tensão entre dois pontos da corda e é sua densidade linear.

Tomanda a transformada de Laplace em relação à variável :

Pela propriedade da transformada da derivada segunda, definida acima, tem-se:

Aplicando as condições iniciais sabe-se que e são ambos nulos.

Sob a hipótese de que é válido permutar a ordem de integração e diferenciação:

Unindo os dois lados da equação novamente:

Dessa forma o problema foi reduzido à solução de uma equação diferencial ordinária em , cuja solução geral é conhecida e dada por:

A solução deve satisfazer as condições de fronteira, em particular para um x muito grande o deslocamento deve ser nulo:

Por meio da expressão acima percebe-se que a transformada de laplace do deslocamento deve satisfazer a mesma condição. Para tanto, o coeficiente deve ser de modo que anule o comportamento da exponencial cujo argumento é positivo.

A transformada fica dada então pela expressão:

A segunda condição de fronteira permite determinar :

Assim a transformada fica dada por . Para obter a transformada inversa basta utilizar a propriedade do deslocamento:

Onde á função de heaviside.

A função deslocamento encontrada como solução trata-se de nada mais do que um pulso de onda propagando-se no sentido positivo do eixo x (observando um ponto fixo é necessário que, a medida que o tempo aumente, x aumente proporcionalmente para que o argumento da senóide mantenha-se constante).

A solução resultade pode ser visualizada na animação abaixo:

Evolução temporal e espacial da equação da onda como solução para o problema da corda semi-infinita


Aplicação em problemas com condições de contorno: condução de calor[editar | editar código-fonte]

A condução de calor trata-se da transferência de energia de partículas mais energéticas para as menos energéticas de uma substância devido às interações entre as partículas. Um dos objetivos principais em uma análise da condução é determinar o campo de temperaturas em um meio resultante das condições impostas em suas fronteiras. Ou seja, desejamos conhecer a distribuição de temperaturas, que representa como a temperatura varia com a posição no meio.

É indiscutível que problemas que envolvem aquecimento ou esfriamento de sistemas físicos são muito importantes em várias situações na área de ciência e tecnologia. Algumas soluções dependentes do tempo da equação de difusão do calor podem ser um tanto complicada. Nesse contexto, a Transformada de Laplace surge com uma ótima alternativa para resolver problemas de valores de contorno em problemas de condução de calor.

Um sólido semi-infinito x > 0 que está inicialmente em uma temperatura igual a zero, deseja-se encontrar a temperatura em qualquer ponto do sólido em qualquer tempo, ou seja, u(x, t).

No tempo t = 0, é aplicado e mantido uma temperatura constante uo > 0 na face x = 0. Além disso, iremos considerar a temperatura é constante para todo tempo.


x > 0, t > 0

  • u(x, 0) = 0
  • u(0, t) = uo


Aplicando a transformada de Laplace encontramos que:

[1] ou [2]


onde:


Resolvendo [1] encontramos que:



Escolhendo c1 igual a zero de modo que u esteja limitado quanto x tende ao infinito, e então teremos que:


Por [2] teremos que c2 = uo/s, de maneira que:


Pela transformada inversa temos que:


Aplicação em Reações Químicas[editar | editar código-fonte]

Considere o mecanismo simplificado de reação química apresentado a seguir:

onde a concentração de R, S e T são dadas em mol/l por x(t), y(t) e z(t), respectivamente e são regidas pelo seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:

onde α e γ são constantes positivas. Sabendo que as concentrações iniciais são dadas por:

Usando a teoria das Transformadas de Laplace, vamos obter a solução dada pelas funções x(t), y(t) e z(t) quando α = 1, e γ = 2. Calculamos a Transformada de Laplace do sistema usando a propriedade da linearidade e da derivada:

Da primeira equação, temos:

Da segunda equação, temos:
Da terceira equação temos:

Gráfico das fuções x(t), y(t) e z(t).

Agora, podemos obter as funções x(t), y(t) e z(t) através da Transformada Inversa de Laplace:

onde usamos a propiedade da convolução na passagem da primeira para a segunda liha.

A figura a seguir apresenta o gráfico das fuções x(t), y(t) e z(t).

Aplicação no metabolismo de um medicamento[editar | editar código-fonte]

Durante um período de consumo de uma medicação, a concentração da substância ingerida na corrente sanguínea evolui segundo um modelo simples da seguinte forma:

  • No caso de ausência de dosagens, a variação da concentração é proporcional a concentração.
  • O organismo metaboliza o medicamento com uma taxa Τ .
  • As doses de medicamento são liberadas e entra na corrente sanguínea instantaneamente e homogeneamente.

O modelo que descreve esse fenômeno é:

onde  é a concentração e  representa a dosagem ao longo do tempo . Em geral, as dosagens não são únicas e são tomadas periodicamente. Seja   a concentração administrada instantaneamente a cada período Τ, então

Supondo que , ou seja, inicialmente não havia substância no organismo, vamos calcular . Começamos aplicando a transformada de Laplace:

E encontramos:

Calculamos a transformada inversa usando a propriedade do deslocamento no eixo .

Gráfico da função que modela o metabolismo de um medicamento em um organismo


O gráfico da concentração é apresentado na figura ao lado, usando , e .

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. 18-, Williams, John, 1922 April (1973). Laplace transforms. London: Allen & Unwin. ISBN 004512020X. OCLC 3091374 
  2. K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence (2010), Mathematical methods for physics and engineering, ISBN 978-0-521-86153-3 3rd ed. , Cambridge University Press, p. 455 
  3. J.J.Distefano, A.R. Stubberud, I.J. Williams (1995), Feedback systems and control, ISBN 0-07-017052-5 2nd ed. , Schaum's outlines, p. 78 
  4. Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, p.183, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 - provides the case for real q.
  5. - Wolfram Mathword provides case for complex q
  6. «Aplicação: cálculo da deflexão em vigas sujeitas a cargas concentradas». www.ufrgs.br. Consultado em 6 de julho de 2019 

6. REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

7. Spiegel, M. Transformadas de Laplace. Coleção Schaum. 1890.

8. http://knoow.net/ciencterravida/geografia/albufeira/