Transformada de Laplace

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Na matemática, a transformada de Laplace é uma transformada integral epónimo a seu descobridor, o matemático e astrônomo Pierre-Simon Laplace (/ləˈplɑːs/), que utilizou uma forma semelhante em seus trabalhos de Teoria da Probabilidade. Sua teoria foi mais a fundo desenvolvida entre o século 19 e o início do século 20 por Mathias Lerch, Oliver Heaviside e Bromwich.

A transformada gera uma função de variável (frequência) a partir de uma função de variável (tempo) e vice-versa.

Dada uma simples descrição matemática ou funcional de entrada ou saída de um sistema, a transformada de Laplace fornece uma descrição alternativa que, em um grande número de casos, diminui a complexidade do processo de análise do comportamento do sistema ou em sintetizar um novo sistema baseado em características específicas. Nesse sentido, a transformada de Laplace converte equação diferencial em equação algébrica e convolução em multiplicação.

A atual aplicação da transformada (principalmente em engenharia) foi inicialmente descoberta durante a Segunda Guerra Mundial e substituiu o Cálculo operacional.

Quando fala-se em "transformada de Laplace" sem especificação, geralmente refere-se à forma unilateral. A transformada de Laplace é originalmente definida pela forma bilateral, em que e . Destarte, a transformada unilateral em que qualquer argumento é múltiplo da função de Heaviside, torna-se apenas um caso especial devido ao intervalo de domínio da função de Heaviside.
A transformada de Laplace possui diversas aplicações na ciência e na tecnologia.

Condição de existência[editar | editar código-fonte]

A integral que define a transformada de Laplace nem sempre converge e, nesse caso, dizemos que a função não possui transformada de Laplace. As funções e são algumas funções que não possuem transformada de Laplace.

Dizemos que uma função é de ordem exponencial se existem constantes , e tal que , .

As funções , e são de ordem exponencial pois

Tal teorema apresenta condições suficientes para existência da transformada de Laplace. Estas condições não são, contudo, necessárias. Por exemplo, a função não é contínua na origem(sequer é limitada quando ) mas admite uma transformada de Laplace.

Função de Heaviside[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Função de Heaviside

A função de Heaviside é nula para um argumento negativo, unitária para um argumento positivo, respeita a relação e pode ser definida como

Ao efetuar-se a mudança de variável , obtém-se a função de Heaviside com descontinuidade em :

Torna-se, naturalmente, importante notar que a função de Heaviside não existe em . Para isso, quando for necessário defini-la neste ponto, toma-se a "função rampa" como aproximação contínua:

Talvez a mais importante aplicação da função da Heaviside seja a função pulso.

Função Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Delta de Dirac

Para entender matematicamente a função Delta de Dirac, é conveniente utilizar a função de Heaviside, com a condição de que , ou seja,

Analogamente à função de Heaviside, para representar um impulso num instante de tempo que não zero, realiza-se um deslocamento na equação,
Considera-se então o Delta como o limite da função em um curto curto intervalo de tempo, quando o parâmetro tende a zero, isto é,

Assim, define-se a função Delta de Dirac como

Algumas propriedades fundamentais do Delta de Dirac para a transformada de Laplace são:

Filtragem[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Filtragem

Transformada do Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Transformada de Laplace do Delta de Dirac

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A transformada de Laplace possui inúmeras propriedades operacionais que permitem a existência tanto da transformada direta quanto da inversa, para uma ampla gama de funções observadas na ciência. Suas propriedades são:

Linearidade[editar | editar código-fonte]

A transformada de Laplace é um operador linear:

Transformada de Laplace de uma derivada[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da derivada

Transformada de Laplace de uma integral[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da integral

Deslocamento no tempo[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade do deslocamento no tempo

Deslocamento na frequência[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade do deslocamento na frequência

Conhecida como deslocamento ou translação do eixo s, é possível conhecer a transformada de múltiplos exponenciais de uma função desde que conheçamos a sua transformada, isto é,

Teorema da Convolução[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Teorema do produto de Convolução

Transformada de Laplace de uma função de período T[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Transformada de Laplace de uma função periódica

Se é uma função contínua por partes, de ordem exponencial e periódica de período . Então a transformada de Laplace existe e é da forma

Derivada da transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

Integral da transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

Tabela de transformadas de Laplace[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lista de transformadas de Laplace

A tabela provê as transformadas de Laplace para as funções mais comuns de uma variável.[1][2] Para definições e exemplos, veja a nota explanatória no fim da tabela.

Porque a transformada de Laplace é um operador linear:

A transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas de Laplace de cada termo.

A transformada de Laplace de um múltiplo de uma função é o múltiplo vezes a transformada de Laplace da função.

Usando a propriedade da linearidade e as relações/identidades trigonométricas, hiperbólicas e complexas, algumas transformadas de Laplace podem ser obtidas de outras mais rápida do que diretamente pela definição.

A unilateralidade da transformada de Laplace toma como entrada uma função cujo. Este é o motivo de todas as funções no domínio de tempo na tabela abaixo serem múltiplas da função de Heaviside, . As entradas desta tabela que envolvem um tempo de atraso são obrigadas a serem causais. Um sistema causal é um sistema em que a resposta ao impulso é nulo para todo tempo prévio a .

Aplicação: Oscilador Harmônico[editar | editar código-fonte]

Seja um sistema massa mola de equação = , onde é a massa, é a constante de hooke para a mola e é a constante de atrito.

Os valores iniciais são:

= posição inicial

= velocidade inicial

Usansdo a propriedade da Transformada de Laplace de uma derivada temos

- - + + - =.

Agora, isolando e supondo o termo forçante = 0, tem-se:


=


A solução do problema pode ser representado por =

O sistema massa mola pode ser dividido em cinco situações:

i) Oscilador harmônico forçado: Quando há força externa:

ii) Oscilador harmômico livre: Quando não há força externa:

iii) Subarmotecido livre: Quando

iv) Superamortecido livre ():

v) Criticamente amortecido livre :

Transformada de Laplace para séries de potências[editar | editar código-fonte]

Temos a Função de Bessel de ordem zero dada por:

Calculando a transformada, temos:

Logo,

Podemos também demonstrar a transformada de uma função t(k) que leva à Função gama . Para k>0, temos que:

Onde:

Aplicando a Transformada de Laplace, temos:

Obtemos com a seguinte mudança de variáveis  :

Aplicações em equações diferenciais[editar | editar código-fonte]

Fluxograma que representa o caminho para a obtenção de uma solução.

Artigo principal: Transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais

As diversas propriedades da transformada de Laplace possibilitam a transformação de um grande número de equações diferenciais ordinárias em simples equações algébricas lineares. Alguns tipos mais comuns de equações diferenciais são: Equação diferencial ordinária com coeficientes constantes

Artigo principal: Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes

Exemplo:

Equação diferencial ordinária com coeficientes não constantes

Artigo principal: Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis

Exemplo:

Sistema linear de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes

Artigo principal: Sistema linear de equações diferenciais ordinárias

Exemplo:

Sistema linear de equações diferenciais ordinárias com coeficientes não constantes

Artigo principal: Sistema linear de equações diferenciais ordinárias

Exemplo:

Em muitas ocasiões são necessários valores iniciais para uma resolução numérica dessas equações diferenciais.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence (2010), Mathematical methods for physics and engineering, ISBN 978-0-521-86153-3 3rd ed. , Cambridge University Press, p. 455 
  2. J.J.Distefano, A.R. Stubberud, I.J. Williams (1995), Feedback systems and control, ISBN 0-07-017052-5 2nd ed. , Schaum's outlines, p. 78