Transformada de Laplace

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Na matemática, a transformada de Laplace é uma transformada integral epónimo a seu descobridor, o matemático e astrônomo Pierre-Simon Laplace (/ləˈplɑːs/), que utilizou uma forma semelhante em seus trabalhos de Teoria da Probabilidade. Sua teoria foi mais a fundo desenvolvida entre o século 19 e o início do século 20 por Matyáš Lerch, Oliver Heaviside e Thomas John I'Anson Bromwich.

A transformada gera uma função de variável (frequência) a partir de uma função de variável (tempo) e vice-versa.

Dada uma simples descrição matemática ou funcional de entrada ou saída de um sistema, a transformada de Laplace fornece uma descrição alternativa que, em um grande número de casos, diminui a complexidade do processo de análise do comportamento do sistema ou em sintetizar um novo sistema baseado em características específicas. Nesse sentido, a transformada de Laplace converte equação diferencial em equação algébrica e convolução em multiplicação.

A atual aplicação da transformada (principalmente em engenharia) foi inicialmente descoberta durante a Segunda Guerra Mundial e substituiu o Cálculo operacional.

Quando fala-se em "transformada de Laplace" sem especificação, geralmente refere-se à forma unilateral. A transformada de Laplace é originalmente definida pela forma bilateral, em que e . Assim, a transformada unilateral em que qualquer argumento é múltiplo da função de Heaviside, torna-se apenas um caso especial devido ao intervalo de domínio da função de Heaviside.
A transformada de Laplace possui diversas aplicações na ciência e na tecnologia.

Condição de existência[editar | editar código-fonte]

A integral que define a transformada de Laplace nem sempre converge e, nesse caso, dizemos que a função não possui transformada de Laplace. As funções e são algumas funções que não possuem transformada de Laplace.

Dizemos que uma função é de ordem exponencial se existem constantes , e tal que , .

As funções , e são de ordem exponencial pois

Tal teorema apresenta condições suficientes para existência da transformada de Laplace. Estas condições não são, contudo, necessárias. Por exemplo, a função não é contínua na origem(sequer é limitada quando ) mas admite uma transformada de Laplace.

Função de Heaviside[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Função de Heaviside

A função de Heaviside é nula para um argumento negativo, unitária para um argumento positivo, respeita a relação e pode ser definida como

Ao efetuar-se a mudança de variável , obtém-se a função de Heaviside com descontinuidade em :

Torna-se, naturalmente, importante notar que a função de Heaviside não existe em . Para isso, quando for necessário defini-la neste ponto, toma-se a "função rampa" como aproximação contínua:

Talvez a mais importante aplicação da função da Heaviside seja a função pulso.

Função Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Delta de Dirac

Para entender matematicamente a função Delta de Dirac, é conveniente utilizar a função de Heaviside, com a condição de que , ou seja,

Analogamente à função de Heaviside, para representar um impulso num instante de tempo que não zero, realiza-se um deslocamento na equação,
Considera-se então o Delta como o limite da função em um curto curto intervalo de tempo, quando o parâmetro tende a zero, isto é,

Assim, define-se a função Delta de Dirac como

Algumas propriedades fundamentais do Delta de Dirac para a transformada de Laplace são:

Filtragem[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Filtragem

Transformada do Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Transformada de Laplace do Delta de Dirac

Tabela de Teoremas e Propriedades[editar | editar código-fonte]

Domínio do Tempo Domínio s Comentários
LinearidadeProva pela lei básica de integração
Derivada no Domínio da frequência
Derivada Geral do Domínio da frequência forma geral da derivada de n
Derivadaf é assumido como uma função diferenciável, e sua derivada é assumida como sendo do tipo exponencial. Isso pode ser obtido pela integração por partes
Segunda derivada f é assumido duas vezes diferenciável e a segunda derivada para ser do tipo exponencial. Segue aplicando a propriedade diferenciação para f′(t).
f s assumido como sendo n-diferenciável, com enésima derivada do tipo exponencial. Segue por indução matemática.
Isso é deduzido usando a natureza da diferenciação de freqüência e convergência condicional.
Integração do Tempo u(t) e a função de Heaviside (u ∗ f)(t)e e a Convolução de u(t) e f(t).
Mudança de frequência
Mudança de Tempo
u(t) função de Heaviside
escalamento de tempo
Multiplicação
Convolução
Relação Cruzada
Função periódica f(t) é uma função periódica do período T então f(t) = f(t + T), para todo t ≥ 0. isto e o resultado da mudança do tempo e a propriedade series geométricas.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A transformada de Laplace possui inúmeras propriedades operacionais que permitem a existência tanto da transformada direta quanto da inversa, para uma ampla gama de funções observadas na ciência. Suas propriedades são:

Linearidade[editar | editar código-fonte]

A transformada de Laplace é um operador linear:

Demonstração (REAMAT):

Portanto, tem-se que:

Transformada de Laplace de uma derivada[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da derivada

Transformada de Laplace de uma integral[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da integral

Deslocamento no tempo[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade do deslocamento no tempo

Deslocamento na frequência[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade do deslocamento na frequência

Conhecida como deslocamento ou translação do eixo s, é possível conhecer a transformada de múltiplos exponenciais de uma função desde que conheçamos a sua transformada, isto é,

Teorema da Convolução[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Teorema do produto de Convolução

Transformada de Laplace de uma função de período T[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Transformada de Laplace de uma função periódica

Se é uma função contínua por partes, de ordem exponencial e periódica de período . Então a transformada de Laplace existe e é da forma

Derivada da transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

Transformada de Fourier[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier continua e equivalente a avaliação bilateral da transformada de Laplace com argumentos imaginários [1]

A definição de Fourier requer o prefixo na função reversa da transformada de fourier. Esta relação entre as transformadas de Fourier e Laplace e comumente usada para determinar o espectro de frequência de um sinal ou de um sistema dinâmico

A relação a cima e valida somente se a região de convergência de F(s) contem o eixo imaginário,

Integral da transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

Tabela de transformadas de Laplace[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lista de transformadas de Laplace

A tabela provê as transformadas de Laplace para as funções mais comuns de uma variável.[2][3] Para definições e exemplos, veja a nota explanatória no fim da tabela.

Porque a transformada de Laplace é um operador linear:

A transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas de Laplace de cada termo.

A transformada de Laplace de um múltiplo de uma função é o múltiplo vezes a transformada de Laplace da função.

Tabela resumida de transformações[editar | editar código-fonte]

Função Domínio de tempo

Laplace s-domínio

Região de Convergência Referência
impulso unitário todo s inspeção
impulso atrasado mudança de tempo do

impulso unitário

Degrau Unitário Re(s) > 0 integral do impulso unitário
Função Constante Re(s) > 0 Convolução
Degrau atrasado Re(s) > 0 mudança de tempo do

passo único

Função Rampa Re(s) > 0 integral do impulso

unitário duas vezes

n-ésima potência

( para n inteiro)

Re(s) > 0

(n > −1)

Integral do passo

único n vezes

q-ésima potência

(para q complexo)

Re(s) > 0

Re(q) > −1

[4][5]
Re(s) > 0 Deixe q = 1/n acima.
n-ésima potência com mudança de frequênciaRe(s) > −αIntegral do passo único

aplique a mudança de frequência

n-ésima potência atrasada

com mudança de frequência

Re(s) > −α Integral do passo único,

aplique a mudança de frequência, aplique a mudança de tempo

Decaimento exponencial Re(s) > −α Mudança de frequência do

passo único

Decaimento exponencial bilateral −α < Re(s) < α Mudança de frequência do

passo único

Exponencial genérica Re(s) > ln(a) Adaptação da transformada do decaimento exponencial
aproximação exponencial Re(s) > 0 passo único menos

decaimento exponencial

Seno Re(s) > 0 Bracewell 1978, p. 227
Cosseno Re(s) > 0 Bracewell 1978, p. 227
Seno hiperbólico Re(s) > |α| Williams 1973, p. 88
Cosseno hiperbólico Re(s) > |α| Williams 1973, p. 88
decaimento exponencial

onda senoidal

Re(s) > −α Bracewell 1978, p. 227
decaimento exponencial

onda cossenoidal

Re(s) > −α Bracewell 1978, p. 227
Logaritmo natural Re(s) > 0 Williams 1973, p. 88
Nota explicatória:

Usando a propriedade da linearidade e as relações/identidades trigonométricas, hiperbólicas e complexas, algumas transformadas de Laplace podem ser obtidas de outras mais rápida do que diretamente pela definição.

A unilateralidade da transformada de Laplace toma como entrada uma função cujo. Este é o motivo de todas as funções no domínio de tempo na tabela abaixo serem múltiplas da função de Heaviside, . As entradas desta tabela que envolvem um tempo de atraso são obrigadas a serem causais. Um sistema causal é um sistema em que a resposta ao impulso é nulo para todo tempo prévio a .

Aplicação: Oscilador Harmônico[editar | editar código-fonte]

Seja um sistema massa mola de equação = , onde é a massa, é a constante de hooke para a mola e é a constante de atrito.

Os valores iniciais são:

= posição inicial

= velocidade inicial

Usansdo a propriedade da Transformada de Laplace de uma derivada temos

- - + + - =.

Agora, isolando e supondo o termo forçante = 0, tem-se:


=


A solução do problema pode ser representado por =

O sistema massa mola pode ser dividido em cinco situações:

i) Oscilador harmônico forçado: Quando há força externa:

ii) Oscilador harmômico livre: Quando não há força externa:

iii) Subarmotecido livre: Quando

iv) Superamortecido livre ():

v) Criticamente amortecido livre :

Transformada de Laplace para séries de potências[editar | editar código-fonte]

Temos a Função de Bessel de ordem zero dada por:

Calculando a transformada, temos:

Logo,

Podemos também demonstrar a transformada de uma função t(k) que leva à Função gama . Para k>0, temos que:

Onde:

Aplicando a Transformada de Laplace, temos:

Obtemos com a seguinte mudança de variáveis  :

Aplicações em equações diferenciais[editar | editar código-fonte]

Fluxograma que representa o caminho para a obtenção de uma solução.

Artigo principal: Transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais

As diversas propriedades da transformada de Laplace possibilitam a transformação de um grande número de equações diferenciais ordinárias em simples equações algébricas lineares. Alguns tipos mais comuns de equações diferenciais são: Equação diferencial ordinária com coeficientes constantes

Artigo principal: Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes

Exemplo:

Equação diferencial ordinária com coeficientes não constantes

Artigo principal: Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis

Exemplo:

Sistema linear de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes

Artigo principal: Sistema linear de equações diferenciais ordinárias

Exemplo:

Sistema linear de equações diferenciais ordinárias com coeficientes não constantes

Artigo principal: Sistema linear de equações diferenciais ordinárias

Exemplo:

Em muitas ocasiões são necessários valores iniciais para uma resolução numérica dessas equações diferenciais.

Aplicação em Circuitos RL[editar | editar código-fonte]

A aplicação da Transformação de Laplace para resolução de circuitos RL e RC é uma ferramenta interessante na resolução das equações diferenciais que expressam circuitos RC e RL, pois em determinados casos reduz a quantidade de análises e simplificações inerentes à resolução de circuitos baseado na Teoria de Circuitos. A exemplo do caso abaixo:

Considerando o circuito RL com duas malhas ao lado:

Modelo de Circuito RL com 2 malhas

Aplicando lei de Kirchhoff, temos as seguintes expressões:

Como a tensão no indutor é dada pela expressão:

Considerando

Chegamos as seguintes expressões:

- Dividindo as equações (I) e (II) e organizando-as temos:

Aplicando a Transformação de Laplace:

Chegamos então ao seguinte sistema:

Para exemplificar uma solução e a curva que refere-se a corrente i(t) no circuito, podemos tomar , para este caso temos a solução a seguir :

e , assim aplicando a Transformada de Laplace inversa, voltando para o domínio do tempo, temos a seguinte resposta:

e A

Como esperado, no domínio do tempo temos uma curva exponencial inicialmente e depois se torna constante, isso ocorre por que para o indutor se comporta como um curto circuito, sua corrente será constante.

Aplicação em circuitos RLC[editar | editar código-fonte]

Circuitos RLC são modelados comumente por equações diferenciais, os valores dos componentes que constituem o circuito(Capacitores, Resistores e Indutores) e a frequência da fonte determinam o tipo de resposta do mesmo: Superamortecida, subamortecida e criticamente amortecida. Em geral essas equações diferenciais são de segunda ordem ou maior e podem ser resolvidas semelhantemente à resolução de equações diferenciais aplicando Transformada de Laplace.

As seguintes equações modelam circuitos simples RLC paralelo e série respectivamente:

e

Aplicando transformada de Laplace, considerando i(0) = 0 e i'(0) = 0, v(0)=0 e v'(0) =0:

e

O que nos dá a seguinte equação característica:

=> Resposta Superamortecida

=> Critica

Complexos => Subamortecida

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. 18-, Williams, John, 1922 April (1973). Laplace transforms. London: Allen & Unwin. ISBN 004512020X. OCLC 3091374 
  2. K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence (2010), Mathematical methods for physics and engineering, ISBN 978-0-521-86153-3 3rd ed. , Cambridge University Press, p. 455 
  3. J.J.Distefano, A.R. Stubberud, I.J. Williams (1995), Feedback systems and control, ISBN 0-07-017052-5 2nd ed. , Schaum's outlines, p. 78 
  4. Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, p.183, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 - provides the case for real q.
  5. - Wolfram Mathword provides case for complex q

6. REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Universidade Federal do Rio Grande do Sul.