Transformada de Laplace

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Em matemática, particularmente na análise funcional, a transformada de Laplace é um método operacional de resolução de problemas de valor inicial que permite levar a resolução de equações diferenciais à resolução de equações polinomiais, que são muito mais simples de resolver. A transformada de Laplace de uma função f(t), cuja integral existe, definida para todo número real t ≥ 0 é a função F(s), definida por:

Pierre-Simon Laplace.

As propriedades desta transformada tornam-na útil para a análise de sistemas dinâmicos lineares. A vantagem mais interessante desta transformada integral é que a integração e a derivação tornam-se multiplicações e divisões, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicação em adição. Este método, que leva o nome do matemático francês Pierre Simon Laplace, foi desenvolvido pelo físico inglês Oliver Heaviside, nascido um século depois de Laplace.

Heaviside, autor dos renomados Eletrical Papers, foi um pesquisador do campo da Engenharia elétrica, responsável por desenvolver uma técnica conhecida como Cálculo Operacional capaz de estudar as correntes transientes em circuitos elétricos.

Por conveniência de notação, usada principalmente por engenheiros e físicos, a função pode ser expressa da seguinte forma:

Transformada de Laplace.

Sendo f(t) a função original e é o operador Transformada de Laplace. É comum denotar-se as funções originais com letras minúsculas (f(t),g(t),...) e suas respectivas funções transformadas com letras maiúsculas (F(s),G(s),...).

Quando se fala de transformada de Laplace, refere-se geralmente à versão unilateral. Existe também a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:

A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é uma constante que depende do comportamento de crescimento de f(t).

A transformada de Laplace é extensamente utilizada em Engenharia elétrica e Engenharia química.

Aplicabilidade[editar | editar código-fonte]

Note que a Transformada integral de Laplace, pelos limites de integração, é mais conveniente para problemas que possuem dependência temporal. Podemos utilizar o método da transformada de Laplace[1] para buscar Soluções de equações diferenciais.

Convolução de Laplace[editar | editar código-fonte]

Seja f(t) e g(t) funções de ordem exponencial e com Transformada integral de Laplace F(s) e G(s), respectivamente. Pode-se notar que a transformada de Laplace do produto é diferente do produto das transformadas.

Exemplo:

, se se [2]

temos:

que difere de .

Com isso, segue a seguinte definição extremamente conveniente neste sentido:

Definição[editar | editar código-fonte]

Para as funções e definidas anteriormente definimos o produto de convolução ( ou simplesmente convolução) entre e da seguinte forma:

Observação:

Teorema:

A Transformada de Laplace do produto de convolução:

é igual ao produto das transformadas .

De fato,

Calculemos a Transformada de Laplace de um produto de convolução, isto é:

Introduzindo a mudança de variável podemos escrever

Definindo-se para , o limite superior em vez de pode ser tomado , logo

, isto é, a transformada de Laplace do produto de convolução é o produto das transformadas.

Condições de existência da transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

Para que a transformada de Laplace de exista, é preciso que verifique as seguintes duas propriedades:

  • A função deverá ser parceladamente contínua, isto é,

poderá ter alguns pontos isolados onde é descontínua, mas será contínua em cada intervalo entre dois pontos de descontinuidade..[3]

  • A função deve ser uma função de ordem exponencial:

existe um número real a tal que o limite

existe.

O domínio da transformada de Laplace de será ..[3]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Linearidade[editar | editar código-fonte]

Derivada[editar | editar código-fonte]

Integral[editar | editar código-fonte]

Escalamento[editar | editar código-fonte]


Valor inicial[editar | editar código-fonte]

Valor final[editar | editar código-fonte]

Convolução[editar | editar código-fonte]

Transformada de Laplace de uma função de período T[editar | editar código-fonte]

Se f(t) é uma função contínua por partes, de ordem exponencial e periódica de período T. Então a transformada de Laplace existe e é da forma

Demonstração: Aplicando a definição e separando a integral nos períodos da função f(t) para obter:

Fazendo a mudança de variável τ = t-nT e obtêm-se

Usando o fato que a função é periódica, ou seja, f(τ)=f(τ+nT), se tem:

onde usa-se a soma de uma série geométrica de razão .

As funções periódicas aparecem com frequência representando forças externas em sistemas mecânicos e elétricos.

Deslocamento na frequência[editar | editar código-fonte]

Conhecida como deslocamento ou translação do eixo s, é possível conhecer a transformada de múltiplos exponenciais de uma função desde que conheçamos a sua transformada, isto é:

,

ou

Demonstração: Faz-se a aplicação direta da definição de transformada de Laplace de :

Exemplo 1: Calculemos a transformada de Laplace de :

Usando a definição de transformada calcula-se

Aplicando a propriedade da translação tem-se

Exemplo 2: Analogamente é possível calcular a transformada de Laplace de :

Primeiro escreve-se Seno hiperbólico na sua forma exponencial

Assim, pela propriedade da Linearidade, pode-se colocar em evidência,tem-se

Então aplica-se a propriedade da translação do eixo s

Deslocamento no tempo[editar | editar código-fonte]

Estas funções podem representar sinais "liga/desliga" - como a função pulso, onde uma determinada função pode surgir num determinado tempo e, logo após, voltar a ser nula e/ou ser alterada.

Função pulso com a<b

A função pulso é definida por:

Função degrau unitário

A função degrau unitário, ou função de Heaviside. é definida assim[3]

Consequentemente, o produto:

é a função f(t) deslocada uma distância a no sentido positivo do eixo do tempo t , sendo nula para t < a. Sendo assim tem-se o seguinte;

Definição:

e a inversa:

Demonstração: Aplica-se diretamente a transformada de Laplace de e usa-se a propriedade aditiva de integrais

usando o fato de que , tem-se:

. Agora faz-se a mudança de variável na integral e altera-se os limites de integração novamente:

, que é a definição de transformada de Laplace.

e concluímos que:

Isto é, quando a função é deslocada a unidades no sentido positivo do tempo t , a sua representação no domínio das frequências fica multiplicada por .[3] Essa propriedade é útil para calcular transformadas de funções com descontinuidades.


Exemplo 1: Obter a transformada da função de Heaviside :

É obtida direto da definição de transformada de Laplace e usa-se a propriedade aditiva das integrais

onde

A partir daí é fácil resolver a transformada

Exemplo 2: É possível obter a transformada inversa de da seguinte forma:

, e usando frações parciais temos:

e o seguinte: , e fazendo e temos que e o que facilita a solução;

Chegamos em , que pode ser facilmente resolvido aplicando a propriedade da transformada inversa da translação no eixo t;

Cosseno hiperbólico[editar | editar código-fonte]

[4]

Demonstração

Funções sinusoidais[editar | editar código-fonte]

Para calcular a transformada de Laplace das funções sinusoidais é conveniente usar a fórmula de Euler:

Tabela de Transformadas de Laplace selecionadas[editar | editar código-fonte]

A tabela a seguir provê as transformadas de Laplace para as funções mais comuns de uma variável.[5][6] Para definições e exemplos, veja a nota explanatória no fim da tabela.

Porque a transformada de Laplace é um operador linear:

  • A transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas de Laplace de cada termo.
  • A transformada de Laplace de um múltiplo de uma função é o múltiplo vezes a transformada de Laplace da função.

Usando a propriedade da linearidade e as relações/identidades trigonométricas, hiperbólicas e complexas, algumas transformadas de Laplace podem ser obtidas de outras mais rápida do que diretamente pela definição.

A unilateralidade da transformada de Laplace toma como entrada uma função cujo domínio são os reais não negativos, este é o motivo de todas as funções no domínio de tempo na tabela abaixo serem múltiplas da Função de Heaviside, u(t). As entradas desta tabela que envolvem um tempo de atraso são obrigadas a serem causais (para > 0). Um sistema causal é um sistema em que a resposta ao impulso h(t) é zero para todo tempo t prévio a t = 0. Em geral, a região de convergência para um sistema causal não é o mesmo para um sistema anti-causal.

Função Domínio de tempo
Laplace s-domínio
Região de Convergência Referência
impulso unitário todo s inspeção
impulso atrasado mudança de tempo do
impulso unitário
passo único Re(s) > 0 integral do impulso unitário
passo único atrasado Re(s) > 0 mudança de tempo do
passo único
rampa Re(s) > 0 integral do impulso
unitário duas vezes
n-ésima potência
( para n inteiro)
Re(s) > 0
(n > −1)
Integral do passo
único n vezes
q-ésima potência
(para q complexo)
Re(s) > 0
Re(q) > −1
[7][8]
n-ésima raiz Re(s) > 0 Deixe q = 1/n acima.
n-ésima potência com mudança de frequência Re(s) > −α Integral do passo único
aplique a mudança de frequência
n-ésima potência atrasada
com mudança de frequência
Re(s) > −α Integral do passo único,
aplique a mudança de frequência,
aplique a mudança de tempo
Decaimento exponencial Re(s) > −α Mudança de frequência do
passo único
Decaimento exponencial bilateral −α < Re(s) < α Mudança de frequência do
passo único
aproximação exponencial Re(s) > 0 passo único menos
decaimento exponencial
Seno Re(s) > 0 Bracewell 1978, p. 227
Cosseno Re(s) > 0 Bracewell 1978, p. 227
Seno hiperbólico Re(s) > |α| Williams 1973, p. 88
Cosseno hiperbólico Re(s) > |α| Williams 1973, p. 88
decaimento exponencial
onda senoidal
Re(s) > −α Bracewell 1978, p. 227
decaimento exponencial
onda cossenoidal
Re(s) > −α Bracewell 1978, p. 227
Logaritmo natural Re(s) > 0 Williams 1973, p. 88
Função de Bessel
de primeira espécie,
de ordem n
Re(s) > 0
(n > −1)
Williams 1973, p. 89
Função erro Re(s) > 0 Williams 1973, p. 89
decaimento exponencial
onda cossenoidal deslocada (I)
Re(s) > −α [9]
decaimento exponencial
onda cossenoidal deslocada (II)




Re(s) > −α [9]
decaimento exponencial
onda cossenoidal deslocada (III)


Re(s) > −α [9]
Nota explicatória:

Transformada de Laplace para séries de potências[editar | editar código-fonte]

Temos a Função de Bessel de ordem zero dada por:

Calculando a transformada, temos:

Logo,

Podemos também demonstrar a transformada de uma função t(k) que leva à Função gama . Para k>0, temos que:

Onde:

Aplicando a Transformada de Laplace, temos:

Obtemos com a seguinte mudança de variáveis  :

Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

, se , ou

, se ou .

Pela definição da Delta de Dirac temos:

Com isto, podemos definir a função em termos de funções degrau, isto é,

Assim,

.

Definição:

A função Delta de Dirac[10] pode ser expressa por:

isto é,

.

.

Transformadas de Funções Elementares[editar | editar código-fonte]

A transformada de , onde é qualquer número real, é[3]

usando a mudança de variável , o integral transforma-se numa função gama:

em particular, quando for um número inteiro positivo ,

[11]

e para

Aplicando a propriedade de deslocamento em , podemos calcular a transformada da função exponencial

e usando a propriedade da derivada da transformada

O mesmo resultado podia ter sido obtido a partir da transformada de , usando a propriedade de deslocamento em .[3]

As transformadas do seno e do cosseno podem ser calculadas substituindo na Equação e usando a fórmula de Euler

comparando as partes reais e imaginárias, concluímos:

Resolução de equações diferenciais por meio da transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

As transformadas de Laplace das derivadas de uma função são todas proporcionais à transformada da função original, multiplicada por , onde é a ordem da derivada.

Esta propriedade permite transformar uma equação diferencial linear, com coeficientes constantes numa equação algébrica.[3] Por exemplo, consideremos a equação:

Transformando os dois lados da equação e usando a propriedade de linearidade, obtemos:

cada um dos termos pode ser calculado usando as propriedades da transformada de Laplace:

a transformada da equação diferencial é

onde e são duas constantes, iguais aos valores iniciais de e em .[3]

Esta equação é uma equação algébrica que pode ser facilmente simplificada, conduzindo à função :

A solução da EDO é a transformada inversa desta função. Usando a expansão em frações parciais:

onde , , e são constantes que podem ser calculadas comparando as duas últimas equações:

A transformada inversa de cada uma das frações parciais é facilmente identificada, usando as transformadas calculadas em seções anteriores.[3] A resposta final é:

Equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis[editar | editar código-fonte]

Quando os coeficientes de uma equação diferencial linear são polinômios, a transformada de Laplace pode ser calculada usando os seguintes resultados:

A transformada da equação diferencial será outra equação diferencial para a função , de ordem igual ao maior grau dos coeficientes da equação original. Em alguns casos a equação diferencial obtida resulta ser mais fácil de resolver do que a equação original.

A transformada de Laplace e as suas derivadas deverão ser funções assimptoticamente decrescentes; esta propriedade das transformadas de Laplace impõe condições fronteira para a equação diferencial obtida.

Equações diferenciais lineares com entrada descontínua[editar | editar código-fonte]

O lado direito de uma equação linear não homogênea pode ser considerado como a entrada num sistema linear que verifica o princípio de sobreposição. Quando a entrada é descontínua, a saída é contínua pois a solução de uma equação diferencial é uma função derivável.

O método da transformada de Laplace é principalmente útil para resolver equações diferenciais com entrada descontínua, já que a transformada de uma função parceladamente contínua é uma função contínua.

Para representar funções descontínuas é conveniente definir a função degrau unitário (também conhecida por função de Heaviside):

Se , a função:

é igual a 1 no intervalo e 0 fora do intervalo. Assim, uma função definida em forma diferente em diferentes intervalos, por exemplo,

pode ser escrita na forma compacta:

facilitando o cálculo da sua transformada de Laplace.

Aplicação: Problema de valor inicial[12][editar | editar código-fonte]

Vamos resolver o problema de valor inicial:

Primeiro aplicamos a transformada de Laplace na equação diferencial:

Aplicando a propriedade da transformada da derivada temos:

Agora, usamos a notação e o fato de que para escrever:

Obtemos a equação subsidiária quando substituímos e  :

O próximo passo é resolver a equação algébrica para :

isto é,

A solução do problema de valor inicial pode ser escrita como:

Obtemos as transformadas inversas de cada termo:

Combinando através da propriedade da linearidade, temos:

E finalmente, simplificando:

Resolução de Sistemas de EDO através da Transformada de Laplace[12][editar | editar código-fonte]

O método da Transformada de Laplace pode ser aplicado para resolver sistemas de equações diferenciais. Para isso, aplica-se a Transformada de Laplace a todas equações envolvidas, levando o sistema de equações diferenciais em um sistema de equações algébricas. Depois de resolver o sistema de equações algébricas no espaço de transformadas, calcula-se as transformadas inversas para obter a solução.

Para exemplificar, vamos resolver o seguinte problema de valor inicial:

Aplicamos a Transformada de Laplace em cada uma das equações:

Onde usamos a propriedade da derivada e a notação e .

Substituímos as condições iniciais para obter o seguinte sistema de equações algébricas:

(1)

(2)

Multiplicamos a equação (1) por s, , e somamos com a equação (2) para obter:

Logo,

Resolvemos usando a equação (2):

As transformadas inversas de e estão tabeladas:

Aplicação: Circuito de duas malhas[12][editar | editar código-fonte]

Figura 1 - Circuito de duas malhas

Considere o circuito da Figura 1 ao lado, constituído de duas malhas com correntes e , respectivamente. Vamos modelar e considerando e . Usando a Lei de Kirchoff para obter

(1)

(2)

Usando , e dividindo a equação (2) por 2, temos:

Aplicamos a Transformada de Laplace e obtemos:

ou seja,

ou, ainda,

A solução desse sistema é dada por:

Portanto,

Aqui percebemos que e, assim, vamos calcular apenas

Logo,

Como

Obs: Para ver mais uma aplicação, acesse a página de soluções de equações diferenciais, exemplo de 'Molas Acopladas'.

Aplicação: Oscilador harmônico[editar | editar código-fonte]

Em um sistema massa-mola, a mola elástica, que obedece a Lei de Hooke e tem constante , possui uma de suas extremidades fixa e a outra presa à um corpo de massa (veja Figura 2). Considerando que o corpo está sujeito a uma força de atrito proporcional a velocidade com constante de amortecimento , que a segunda Lei de Newton descreve o movimento do corpo e o deslocamento em função do tempo, teremos que a aceleração é descrita por e as forças em função do seguinte somatório , sendo uma força externa atuante sob o sistema.

Figura 2: Sistema massa-mola

Aplicando essas informações na segunda Lei de Newton , teremos:

,

ou seja, a equação para o deslocamento em é dado por

Para o modelo ficar completo precisamos impor as condições inciais e .

Agora, portanto, iremos usar o método de transformada de Laplace para resolver a equação, aplicando a transformada temos:

Aplicando a propriedade 2, teremos:

,

sabendo que e e impondo as condições inicias

A solução do problema pode ser representado por

O sistema massa-mola pode ser classificado em cinco casos:[12]

i) Oscilador Harmônico Forçado:

Caso em que a força externa f(t) não é nula, ou seja, F(S) diferente de zero. Dessa forma:

ii) Oscilador Harmônico Livre:

Caso em que a força externa f(t)=0, isso implica que F(S)=0. Dessa forma:

iii) Oscilador Harmônico Subamortecido:

Caso em que r²<4mk e F(S)=0. A expressão é do tipo:

Dessa forma, as soluções são todas do tipo senos ou cossenos multiplicados por exponenciais pois k-²/4m>0 .

iv) Oscilador Harmônico Superamortecido

Caso em que r²>4mk e F(S)=0. A expressão é do tipo:

Dessa forma, as soluções são todas do tipo senos ou cossenos hiperbólicos multiplicados por exponenciais, ou seja, são exponenciais puras porque k-²/4m<0 .

v) Oscilador Harmônico Criticamente Amortecido

Caso em que r²=4mk e F(S)=0. A expressão é do tipo:

Dessa forma, as soluções são do tipo exponenciais multiplicadas por polinômios.

vi) Oscilador Harmônico não amortecido

Caso em que =0 e F(S)=0. A expressão é do tipo:

Dessa forma, as soluções são do tipo senos e cossenos puros.

Aplicação: Reação química[editar | editar código-fonte]

Considerando o seguinte mecanismo simplificado de uma reação química:

onde as concentrações de R, S e T são dadas em mol/L por x(t), y(t) e z(t), e são regidas pelo seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:

e e são constantes positivas. As concentrações iniciais são dadas por:

Tomando os valores de e como 1 e 2, respectivamente, vamos obter a solução dada pelo sistema de funções acima através da Teoria das Tranformadas de Laplace. Usando a propriedade da linearidade e a propriedade da derivada,, obtemos:

Da primeira equação temos:

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace, obtemos:

Da segunda equação temos:

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace, obtemos:

Da terceira equação temos:

Figura 3 - Gráfico das funções x(t), y(t) e z(t)

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace e usando a propriedade da convolução, obtemos:

A Figura 3, ao lado, apresenta o gráfico com as soluções para o sistema de equações ordinárias.

Aplicação: Deflexão de Viga[editar | editar código-fonte]

Pode-se utilizar a Transformada de Laplace para calcular a deflexão de uma viga simplesmente apoiada. Supõe-se uma viga de comprimento apoiada nas duas extremidades e submetida à um carregamento distribuído a partir de

Primeiro listamos as condições iniciais.

Onde é o momento fletor da viga.

E depois listamos as equações de governo.

Onde é a função de Heaviside, é o módulo de rigidez da viga e é a intensidade da carga aplicada.

Aplicando a transformada de Laplace temos a seguinte equação, obtida com a propriedade da transformada da derivada e a transformada de Heaviside.

Aplicando as condições iniciais e as relações constitutivas

Onde é a curvatura da viga e é o cortante.

Temos a equação

Isolando

Aplicando a transformada inversa de Laplace

Usando a condição inicial

Isolando

Substituindo na expressão de temos

Onde o pode ser calculado facilmente através do equilíbrio de forças.

Aplicação: Metabolismo de um medicamento[editar | editar código-fonte]

A utilização da Transformada de Laplace, neste caso, facilita a solução do problema, pois torna o sistema de equações diferenciais em equações algébricas.

A evolução da concentração de um medicamento na corrente sanguínea é dada pelo seguinte modelo:

Onde c(t) é a concentração do medicamento, x(t) é a dosagem e  é a taxa em que o organismo metaboliza o medicamento.

Como as dosagens normalmente são ingeridas com uma periodicidade (período T) e são liberadas instantaneamente (delta de Dirac) na corrente sanguínea, pode-se escrever:

Fazendo a Transformada de Laplace inversa:

]

Usando , e , pode-se construir o seguinte gráfico da concentração do medicamento no organismo:

Laplace7.pdf

Impulso unitário[editar | editar código-fonte]

Em física uma força impulsiva é uma força que atua durante um pequeno intervalo de tempo . O aumento total da quantidade de movimento, devido à força , é igual ao impulso:

Uma função de impulso unitário é uma função que produz um impulso igual a 1:

Um exemplo é a função:

constante no intervalo .

Consideremos uma sucessão de impulsos unitários com intervalos decrescentes.

Por exemplo, as funções

onde é a função degrau unitário. Neste exemplo cada função é igual a no intervalo de entre e , e zero fora dele.

O intervalo de duração do impulso é e a função é um impulso unitário. A medida que aumenta, o gráfico da função é cada vez mais alto, e dentro de um intervalo mais pequeno.

O limite de uma sucessão de impulsos unitários com intervalos decrescentes, aproximando-se para zero, é designado função delta de Dirac

a função é nula em qualquer ponto diferente de , infinita em mas o seu impulso é igual a 1.

A função delta de Dirac não é realmente uma função mas sim um funcional (limite de funções), e daí que o seu integral possa ser diferente de zero enquanto que a função é nula em qualquer ponto diferente de . Uma propriedade importante da função delta de Dirac é o teorema que se segue.

  • Se é uma função contínua em ,

Para resolver equações diferenciais onde apareçam termos impulsivos, será útil conhecer a transformada de Laplace; para a calcular substituiremos a função delta pelo limite da sucessão de impulsos unitários representados na Equação).

e, portanto,

Transformada de Laplace Inversa[editar | editar código-fonte]

Se [13] então:

Na prática o cálculo da Transformada de Laplace Inversa se reduz ao cálculo dos resíduos de considerando o teorema dos resíduos, nos pólos de , em conjunto com o Lema de Jordan.

Consideremos:

Pelo teorema dos resíduos, temos:

Para em ou em ,

Tomando temos:

Basta analisar as singularidades de

Com isto, por exemplo, se considerarmos temos apenas um pólo simples em

Tabela de transformadas inversas de Laplace[14][editar | editar código-fonte]

Transformada de Laplace Função no domínio Tempo
, impulso unitário
, escalão ou degrau unitário
, rampa unitária

Notas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. E. Boyce, William; Diprima, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. (Rio de Janeiro: LTC). ISBN 978-85-216-1499-9. 
  2. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-24. 
  3. a b c d e f g h i [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.
  4. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-24. 
  5. K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence (2010), Mathematical methods for physics and engineering (3rd ed.), Cambridge University Press, p. 455, ISBN 978-0-521-86153-3 
  6. J.J.Distefano, A.R. Stubberud, I.J. Williams (1995), Feedback systems and control (2nd ed.), Schaum's outlines, p. 78, ISBN 0-07-017052-5 
  7. Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, p.183, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 - provides the case for real q.
  8. - Wolfram Mathword provides case for complex q
  9. a b c P. Lathi, Bhagawandas (1998). Signal Processing and Linear Systems (em inglês) primeira ed. (Carmichael: Berkeley-Cambridge Press). p. 372. ISBN 0-941413-35-7. 
  10. G. Zill, Dennis (2011). Equações Diferenciais com aplicações em modelagem 9ª ed. (Loyla Marymount University: Cengage Learning). ISBN 978-85-221-1059-9. 
  11. «O Monitor - Resolve, confere e ilustra». omonitor.io. Consultado em 2016-03-24. 
  12. a b c d AZEVEDO, Fábio; SAUTER, Esequia; STRAUCH, Irene (30/03/2016). Transformada de Laplace (http://www.mat.ufrgs.br/~aplicada/Laplace/Notas_Laplace.pdf [s.n.]). pp. 21,29, 30, 75 e 76. 
  13. Camargo, Rubens de Figueiredo. "Do teorema de Cauchy ao método de Cagniard"
  14. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-24. 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]