Transformada de Laplace

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Na matemática, a transformada de Laplace é uma transformada integral epónimo a seu descobridor, o matemático e astrônomo Pierre-Simon Laplace (/ləˈplɑːs/), que utilizou uma forma semelhante em seus trabalhos de Teoria da Probabilidade. Sua teoria foi mais a fundo desenvolvida entre o século 19 e o início do século 20 por Matyáš Lerch, Oliver Heaviside e Thomas John I'Anson Bromwich.

A transformada gera uma função de variável (frequência) a partir de uma função de variável (tempo) e vice-versa.

Dada uma simples descrição matemática ou funcional de entrada ou saída de um sistema, a transformada de Laplace fornece uma descrição alternativa que, em um grande número de casos, diminui a complexidade do processo de análise do comportamento do sistema ou em sintetizar um novo sistema baseado em características específicas. Nesse sentido, a transformada de Laplace converte equação diferencial em equação algébrica e convolução em multiplicação.

A atual aplicação da transformada (principalmente em engenharia) foi inicialmente descoberta durante a Segunda Guerra Mundial e substituiu o Cálculo operacional.

Quando fala-se em "transformada de Laplace" sem especificação, geralmente refere-se à forma unilateral. A transformada de Laplace é originalmente definida pela forma bilateral, em que e . Assim, a transformada unilateral em que qualquer argumento é múltiplo da função de Heaviside, torna-se apenas um caso especial devido ao intervalo de domínio da função de Heaviside.
A transformada de Laplace possui diversas aplicações na ciência e na tecnologia.

Condição de existência[editar | editar código-fonte]

A integral que define a transformada de Laplace nem sempre converge e, nesse caso, dizemos que a função não possui transformada de Laplace. As funções e são algumas funções que não possuem transformada de Laplace.

Dizemos que uma função é de ordem exponencial se existem constantes , e tal que , .

As funções , e são de ordem exponencial pois

Tal teorema apresenta condições suficientes para existência da transformada de Laplace. Estas condições não são, contudo, necessárias. Por exemplo, a função não é contínua na origem(sequer é limitada quando ) mas admite uma transformada de Laplace.

Função de Heaviside[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Função de Heaviside

A função de Heaviside é nula para um argumento negativo, unitária para um argumento positivo, respeita a relação e pode ser definida como

Ao efetuar-se a mudança de variável , obtém-se a função de Heaviside com descontinuidade em :

Torna-se, naturalmente, importante notar que a função de Heaviside não existe em . Para isso, quando for necessário defini-la neste ponto, toma-se a "função rampa" como aproximação contínua:

Talvez a mais importante aplicação da função da Heaviside seja a função pulso.

Função Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Delta de Dirac

Para entender matematicamente a função Delta de Dirac, é conveniente utilizar a função de Heaviside, com a condição de que , ou seja,

Analogamente à função de Heaviside, para representar um impulso num instante de tempo que não zero, realiza-se um deslocamento na equação,
Considera-se então o Delta como o limite da função em um curto curto intervalo de tempo, quando o parâmetro tende a zero, isto é,

Assim, define-se a função Delta de Dirac como

Algumas propriedades fundamentais do Delta de Dirac para a transformada de Laplace são:

Filtragem[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Filtragem

Transformada do Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Transformada de Laplace do Delta de Dirac

Tabela de Teoremas e Propriedades[editar | editar código-fonte]

Domínio do Tempo Domínio s Comentários
LinearidadeProva pela lei básica de integração
Derivada no Domínio da frequência
Derivada Geral do Domínio da frequência forma geral da derivada de n
Derivadaf é assumido como uma função diferenciável, e sua derivada é assumida como sendo do tipo exponencial. Isso pode ser obtido pela integração por partes
Segunda derivada f é assumido duas vezes diferenciável e a segunda derivada para ser do tipo exponencial. Segue aplicando a propriedade diferenciação para f′(t).
f s assumido como sendo n-diferenciável, com enésima derivada do tipo exponencial. Segue por indução matemática.
Isso é deduzido usando a natureza da diferenciação de freqüência e convergência condicional.
Integração do Tempo u(t) e a função de Heaviside (u ∗ f)(t)e e a Convolução de u(t) e f(t).
Mudança de frequência
Mudança de Tempo
u(t) função de Heaviside
escalamento de tempo
Multiplicação
Convolução
Relação Cruzada
Função periódica f(t) é uma função periódica do período T então f(t) = f(t + T), para todo t ≥ 0. isto e o resultado da mudança do tempo e a propriedade series geométricas.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A transformada de Laplace possui inúmeras propriedades operacionais que permitem a existência tanto da transformada direta quanto da inversa, para uma ampla gama de funções observadas na ciência. Suas propriedades são:

Linearidade[editar | editar código-fonte]

A transformada de Laplace é um operador linear:

Demonstração (REAMAT):

Portanto, tem-se que:

Transformada de Laplace de uma derivada[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da derivada

Transformada de Laplace de uma integral[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da integral

Deslocamento no tempo[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade do deslocamento no tempo

Deslocamento na frequência[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Propriedade do deslocamento na frequência

Conhecida como deslocamento ou translação do eixo s, é possível conhecer a transformada de múltiplos exponenciais de uma função desde que conheçamos a sua transformada, isto é,

Teorema da Convolução[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Teorema do produto de Convolução

Transformada de Laplace de uma função de período T[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Transformada de Laplace de uma função periódica

Se é uma função contínua por partes, de ordem exponencial e periódica de período . Então a transformada de Laplace existe e é da forma

Derivada da transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

Transformada de Fourier[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier continua e equivalente a avaliação bilateral da transformada de Laplace com argumentos imaginários [1]

A definição de Fourier requer o prefixo na função reversa da transformada de fourier. Esta relação entre as transformadas de Fourier e Laplace e comumente usada para determinar o espectro de frequência de um sinal ou de um sistema dinâmico

A relação a cima e valida somente se a região de convergência de F(s) contem o eixo imaginário,

Integral da transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

Tabela de transformadas de Laplace[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lista de transformadas de Laplace

A tabela provê as transformadas de Laplace para as funções mais comuns de uma variável.[2][3] Para definições e exemplos, veja a nota explanatória no fim da tabela.

Porque a transformada de Laplace é um operador linear:

A transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas de Laplace de cada termo.

A transformada de Laplace de um múltiplo de uma função é o múltiplo vezes a transformada de Laplace da função.

Tabela resumida de transformações[editar | editar código-fonte]

Função Domínio de tempo

Laplace s-domínio

Região de Convergência Referência
impulso unitário todo s inspeção
impulso atrasado mudança de tempo do

impulso unitário

Degrau Unitário Re(s) > 0 integral do impulso unitário
Função Constante Re(s) > 0 Convolução
Degrau atrasado Re(s) > 0 mudança de tempo do

passo único

Função Rampa Re(s) > 0 integral do impulso

unitário duas vezes

n-ésima potência

( para n inteiro)

Re(s) > 0

(n > −1)

Integral do passo

único n vezes

q-ésima potência

(para q complexo)

Re(s) > 0

Re(q) > −1

[4][5]
Re(s) > 0 Deixe q = 1/n acima.
n-ésima potência com mudança de frequênciaRe(s) > −αIntegral do passo único

aplique a mudança de frequência

n-ésima potência atrasada

com mudança de frequência

Re(s) > −α Integral do passo único,

aplique a mudança de frequência, aplique a mudança de tempo

Decaimento exponencial Re(s) > −α Mudança de frequência do

passo único

Decaimento exponencial bilateral −α < Re(s) < α Mudança de frequência do

passo único

Exponencial genérica Re(s) > ln(a) Adaptação da transformada do decaimento exponencial
aproximação exponencial Re(s) > 0 passo único menos

decaimento exponencial

Seno Re(s) > 0 Bracewell 1978, p. 227
Cosseno Re(s) > 0 Bracewell 1978, p. 227
Seno hiperbólico Re(s) > |α| Williams 1973, p. 88
Cosseno hiperbólico Re(s) > |α| Williams 1973, p. 88
decaimento exponencial

onda senoidal

Re(s) > −α Bracewell 1978, p. 227
decaimento exponencial

onda cossenoidal

Re(s) > −α Bracewell 1978, p. 227
Logaritmo natural Re(s) > 0 Williams 1973, p. 88
Nota explicatória:

Usando a propriedade da linearidade e as relações/identidades trigonométricas, hiperbólicas e complexas, algumas transformadas de Laplace podem ser obtidas de outras mais rápida do que diretamente pela definição.

A unilateralidade da transformada de Laplace toma como entrada uma função cujo. Este é o motivo de todas as funções no domínio de tempo na tabela abaixo serem múltiplas da função de Heaviside, . As entradas desta tabela que envolvem um tempo de atraso são obrigadas a serem causais. Um sistema causal é um sistema em que a resposta ao impulso é nulo para todo tempo prévio a .

Aplicação: Oscilador Harmônico[editar | editar código-fonte]

Seja um sistema massa mola de equação = , onde é a massa, é a constante de hooke para a mola e é a constante de atrito.

Os valores iniciais são:

= posição inicial

= velocidade inicial

Usansdo a propriedade da Transformada de Laplace de uma derivada temos

- - + + - =.

Agora, isolando e supondo o termo forçante = 0, tem-se:


=


A solução do problema pode ser representado por =

O sistema massa mola pode ser dividido em cinco situações:

i) Oscilador harmônico forçado: Quando há força externa:

ii) Oscilador harmômico livre: Quando não há força externa:

iii) Subarmotecido livre: Quando

iv) Superamortecido livre ():

v) Criticamente amortecido livre :

Transformada de Laplace para séries de potências[editar | editar código-fonte]

Temos a Função de Bessel de ordem zero dada por:

Calculando a transformada, temos:

Logo,

Podemos também demonstrar a transformada de uma função t(k) que leva à Função gama . Para k>0, temos que:

Onde:

Aplicando a Transformada de Laplace, temos:

Obtemos com a seguinte mudança de variáveis  :

Aplicações em equações diferenciais[editar | editar código-fonte]

Fluxograma que representa o caminho para a obtenção de uma solução.

Artigo principal: Transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais

As diversas propriedades da transformada de Laplace possibilitam a transformação de um grande número de equações diferenciais ordinárias em simples equações algébricas lineares. Alguns tipos mais comuns de equações diferenciais são: Equação diferencial ordinária com coeficientes constantes

Artigo principal: Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes

Exemplo:

Equação diferencial ordinária com coeficientes não constantes

Artigo principal: Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis

Exemplo:

Sistema linear de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes

Artigo principal: Sistema linear de equações diferenciais ordinárias

Exemplo:

Sistema linear de equações diferenciais ordinárias com coeficientes não constantes

Artigo principal: Sistema linear de equações diferenciais ordinárias

Exemplo:

Em muitas ocasiões são necessários valores iniciais para uma resolução numérica dessas equações diferenciais.

Aplicação em Circuitos RL[editar | editar código-fonte]

A aplicação da Transformação de Laplace para resolução de circuitos RL e RC é uma ferramenta interessante na resolução das equações diferenciais que expressam circuitos RC e RL, pois em determinados casos reduz a quantidade de análises e simplificações inerentes à resolução de circuitos baseado na Teoria de Circuitos. A exemplo do caso abaixo:

Considerando o circuito RL com duas malhas ao lado:

Modelo de Circuito RL com 2 malhas

Aplicando lei de Kirchhoff, temos as seguintes expressões:

Como a tensão no indutor é dada pela expressão:

Considerando

Chegamos as seguintes expressões:

- Dividindo as equações (I) e (II) e organizando-as temos:

Aplicando a Transformação de Laplace:

Chegamos então ao seguinte sistema:

Para exemplificar uma solução e a curva que refere-se a corrente i(t) no circuito, podemos tomar , para este caso temos a solução a seguir :

e , assim aplicando a Transformada de Laplace inversa, voltando para o domínio do tempo, temos a seguinte resposta:

e A

Como esperado, no domínio do tempo temos uma curva exponencial inicialmente e depois se torna constante, isso ocorre por que para o indutor se comporta como um curto circuito, sua corrente será constante.

Aplicação em circuitos RLC[editar | editar código-fonte]

Circuitos RLC são modelados comumente por equações diferenciais, os valores dos componentes que constituem o circuito(Capacitores, Resistores e Indutores) e a frequência da fonte determinam o tipo de resposta do mesmo: Superamortecida, subamortecida e criticamente amortecida. Em geral essas equações diferenciais são de segunda ordem ou maior e podem ser resolvidas semelhantemente à resolução de equações diferenciais aplicando Transformada de Laplace.

As seguintes equações modelam circuitos simples RLC paralelo e série respectivamente:

e

Aplicando transformada de Laplace, considerando i(0) = 0 e i'(0) = 0, v(0)=0 e v'(0) =0:

e

O que nos dá a seguinte equação característica:

=> Resposta Superamortecida

=> Critica

Complexos => Subamortecida

Aplicação na Solução de Equações Diferenciais Parciais: corda semi-infinita[editar | editar código-fonte]

O método da resolução de equações diferenciais pela transformada de Laplace não está restrito apenas a equações diferenciais ordinárias. É possível também resolver certas equações diferenciais parciais. Esse método é conveniente quando pelo menos uma das variáveis independentes não assume valores negativos, pois pode-se tomar a transformada de laplace com respeito a essa variável e reduzi-la a uma equação diferencial ordinária na outra variável.

Para o caso de uma corda semi-infinita, deseja-se achar uma função que represente o deslocamento vertical de qualquer ponto da corda em qualquer instante de tempo . O problema está sujeito às seguintes condições:

Condições iniciais

  • A corda está inicialmente em repouso, ou seja:

  • A corda existe em (semi-infinita)

Condições de contorno

  • O ponto da corda em é excitado de maneira senoidal, ou seja:

  • Para valores muito distantes, em , o deslocamento da corda é nulo, formalmente:

Solução

A equação que descreve o problema é a conhecida equação da onda:

Onde é a tensão entre dois pontos da corda e é sua densidade linear.

Tomanda a transformada de Laplace em relação à variável :

Pela propriedade da transformada da derivada segunda, definida acima, tem-se:

Aplicando as condições iniciais sabe-se que e são ambos nulos.

Sob a hipótese de que é válido permutar a ordem de integração e diferenciação:

Unindo os dois lados da equação novamente:

Dessa forma o problema foi reduzido à solução de uma equação diferencial ordinária em , cuja solução geral é conhecida e dada por:

A solução deve satisfazer as condições de fronteira, em particular para um x muito grande o deslocamento deve ser nulo:

Por meio da expressão acima percebe-se que a transformada de laplace do deslocamento deve satisfazer a mesma condição. Para tanto, o coeficiente deve ser de modo que anule o comportamento da exponencial cujo argumento é positivo.

A transformada fica dada então pela expressão:

A segunda condição de fronteira permite determinar :

Assim a transformada fica dada por . Para obter a transformada inversa basta utilizar a propriedade do deslocamento:

Onde á função de heaviside.

A função deslocamento encontrada como solução trata-se de nada mais do que um pulso de onda propagando-se no sentido positivo do eixo x (observando um ponto fixo é necessário que, a medida que o tempo aumente, x aumente proporcionalmente para que o argumento da senóide mantenha-se constante).

A solução resultade pode ser visualizada na animação abaixo:

Evolução temporal e espacial da equação da onda como solução para o problema da corda semi-infinita


Aplicação em problemas com condições de contorno: condução de calor[editar | editar código-fonte]

A condução de calor trata-se da transferência de energia de partículas mais energéticas para as menos energéticas de uma substância devido às interações entre as partículas. Um dos objetivos principais em uma análise da condução é determinar o campo de temperaturas em um meio resultante das condições impostas em suas fronteiras. Ou seja, desejamos conhecer a distribuição de temperaturas, que representa como a temperatura varia com a posição no meio.

É indiscutível que problemas que envolvem aquecimento ou esfriamento de sistemas físicos são muito importantes em várias situações na área de ciência e tecnologia. Algumas soluções dependentes do tempo da equação de difusão do calor podem ser um tanto complicada. Nesse contexto, a Transformada de Laplace surge com uma ótima alternativa para resolver problemas de valores de contorno em problemas de condução de calor.

Um sólido semi-infinito x > 0 que está inicialmente em uma temperatura igual a zero, deseja-se encontrar a temperatura em qualquer ponto do sólido em qualquer tempo, ou seja, u(x, t).

No tempo t = 0, é aplicado e mantido uma temperatura constante uo > 0 na face x = 0. Além disso, iremos considerar a temperatura é constante para todo tempo.


x > 0, t > 0

  • u(x, 0) = 0
  • u(0, t) = uo


Aplicando a transformada de Laplace encontramos que:

[1] ou [2]


onde:


Resolvendo [1] encontramos que:



Escolhendo c1 igual a zero de modo que u esteja limitado quanto x tende ao infinito, e então teremos que:


Por [2] teremos que c2 = uo/s, de maneira que:


Pela transformada inversa temos que:



Referências[editar | editar código-fonte]

  1. 18-, Williams, John, 1922 April (1973). Laplace transforms. London: Allen & Unwin. ISBN 004512020X. OCLC 3091374 
  2. K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence (2010), Mathematical methods for physics and engineering, ISBN 978-0-521-86153-3 3rd ed. , Cambridge University Press, p. 455 
  3. J.J.Distefano, A.R. Stubberud, I.J. Williams (1995), Feedback systems and control, ISBN 0-07-017052-5 2nd ed. , Schaum's outlines, p. 78 
  4. Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, p.183, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 - provides the case for real q.
  5. - Wolfram Mathword provides case for complex q

6. REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

7. Spiegel, M. Transformadas de Laplace. Coleção Schaum. 1890.