Transformada fracional de Fourier

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Em matemática a transformada fracional de Fourier (FRFT, do inglês fractional Fourier transform) é uma transformada integral que pode ser considerada uma generalização da transformada de Fourier multidimensional, baseada nas conhecidas propriedades de "rotação" desta última. Em notação de operadores, para maior concisão, pode-se escrever

onde denota a transformada de Fourier de dimensão n, onde n é um inteiro. Em duas dimensões, as equações acima possuem uma interpretação geométrica simples: a aplicação da transformada de Fourier (bidimensional) duas vezes consecutivas equivale a uma rotação de 180°. Tal interpretação permite afirmar que a aplicação da transformada de Fourier equivale a uma rotação de 90° e, além disso, permite generalizar a transformação de forma a obter-se uma rotação por um ângulo qualquer.

A transformada fracional de Fourier em uma dimensão é denotada por , onde a é um número real. Para a = 1, a FRFT se reduz à transformada de Fourier usual; para valores inteiros maiores que 1, ela equivale à aplicação sucessiva da transformada de Fourier; para a = 0, ela equivale a uma identidade; para a = -1, ela equivale à transformada de Fourier inversa, e assim por diante. A transformada será uma função não apenas da variável ω, mas também de a.

A transformação fracional não é apenas um artifício matemático. Existem situações, em Óptica, por exemplo, em que uma transformação fracional corresponde exatamente ao processo físico (ver exemplo abaixo). Uma propriedade notável da transformação é que a passagem do domínio do tempo ao domínio da frequência deixa de ser abrupta e passa a ser gradual.

A FRFT foi proposta por Victor Namias em 1980, sofreu aperfeiçoamentos durante a década e cresceu em popularidade a partir de 1990. A idéia parece ter ocorrido primeiro a Norbert Wiener, em 1929. Entre as aplicações bem sucedidas até o momento, contam-se a solução da equação de Schroedinger e de outras equações diferenciais de segunda ordem, além de problemas selecionados em Óptica e em Análise de sinais. A transformada fracional de Fourier pode também ser relacionada com a distribuição de Wigner, uma ferramenta importante na análise de sinais não-estacionários[1][2][3].

Uma versão discreta também foi definida, para uso em processamento digital, a transformada fracional discreta de Fourier[3].

Definições[editar | editar código-fonte]

Transformada unidimensional[editar | editar código-fonte]

A transformada fracional de Fourier em uma dimensão é definida pela equação

[1][2][3][nota 1]

É possível escrever uma expressão válida para qualquer a, mas é mais simples usar (2a) e aplicar as propriedades da FRFT para obter F(a, ω) para tais valores. Também é possível usar a forma alternativa da transformada, na variável angular α

[2][3]

A transformada inversa é obtida através das mesmas expressões, com a troca do sinal do parâmetro (a ou α) e a troca das variáveis t e ω uma pela outra (ver exemplo).

Condições de existência[editar | editar código-fonte]

Uma condição suficiente, mas não necessária, para que uma função f(t) possua transformada fracional de Fourier é que ela e suas derivadas sejam limitadas de acordo com

[2]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Compatibilidade com a transformada de Fourier[editar | editar código-fonte]

[1][2]

Aditividade[editar | editar código-fonte]

[1][2]

Comutatividade[editar | editar código-fonte]

[1][2]

Nulipotência[editar | editar código-fonte]

[1][2]

Deslocamento dos eixos[editar | editar código-fonte]

[1][2]
[2]

Derivadas[editar | editar código-fonte]

Para n inteiro positivo

[2]
[2]
[2]

Convolução[editar | editar código-fonte]

onde *a denota a convolução fracionária[3].

Interpretação física[editar | editar código-fonte]

A difração de uma onda plana por um orifício produz uma imagem relacionada à transformada de Fourier da onda original.

O fenômeno da difração de Fraunhofer propicia uma interpretação direta da transformada fracional de Fourier. Uma onda plana de luz que atravessa um orifício e em seguida é focalizada por uma lente convergente comum produz uma imagem G(ω,η), em um plano situado a uma distância f, onde f é a distância focal da lente, que é a transformada de Fourier (bidimensional) da imagem original g(x,y). Algumas situações que podem ser exploradas são as seguintes:

  • Se um anteparo é colocado a uma distância menor que f, a imagem nele formada será a transformada fracional de Fourier, com a = ½;
  • Se a lente única é substituída por um conjunto de lentes com diferentes distâncias focais, a transformada fracional de Fourier pode ser usada para descrever a ação separada de cada uma delas, um valor diferente de a caracterizando cada lente, e também a do conjunto;
  • Se a lente única for construída com um material cujo índice de refração diminui com a distância, a transformada fracional de Fourier pode ser usada para descrever a onda resultante em cada ponto no interior da mesma, sendo a lente caracterizada por um determinado valor de a[1][3].

Exemplos de aplicação[editar | editar código-fonte]

Solução de equação diferencial[editar | editar código-fonte]

A FRFT possui, sobre a transformada de Fourier, a vantagem do parâmetro a ou α adicional, que pode ser escolhido de forma a ajustar a transformação a um dado problema. Seja a equação não-linear de segunda ordem

Aplicando a transformada fracional de Fourier na variável α, de acordo com as propriedades (3g) e (3h), teremos

Escolhendo de forma a eliminar o primeiro termo, teremos b = cot2(α) e, simplificando, teremos

Separando variáveis e integrando, teremos

onde A1 é uma constante. Assim

onde A2 é uma constante. Aplicando a transformação inversa

onde A3 é uma outra constante. Simplificando, obtém-se

Devido ao fato de a função cos(x) ser par e sin(x), ímpar, temos

porque as funções x½ e e2 também são pares. Com uma substituição de variáveis

Transformada fracional discreta de Fourier[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Como é usual com transformadas integrais, convivem na literatura versões que diferem em algumas convenções (fatores de escalamento, sinais), mas que são equivalentes de um ponto de vista geral.

Referências

  1. a b c d e f g h Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, ISBN 978-0-1381-4757-0, Cap. 13, pp. 367 a 370
  2. a b c d e f g h i j k l m A. McBride, F. Kerr - On Namias's Fractional Fourier Transforms in IMA Journal of Applied Mathematics, (1987) n°39, pp. 159 a 175
  3. a b c d e f A. Zayed - Shift-Invariant Spaces in the Fractional Fourier Transform Domain, 2010, disponível em http://www.math.niu.edu/~krishtal/IMAHA07/FinalNIU.pdf, acessado em 07/01/2014

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]