Transformada integral

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Em matemática, uma transformada integral é qualquer transformação linear T da seguinte forma:

A entrada desta transformada é uma função f, e o resultado é outra função Tf. Uma transformada integral é uma espécie particular de operadores matemáticos.

Em geral, cada transformada integral corresponde a uma diferente escolha da função K, que é chamada de kernel (ou núcleo) da transformada, e dos limites de integração e . A conveniência de cada transformada depende do tipo de problema abordado. Por exemplo, a Transformada de Laplace costuma ser mais conveniente para problemas com dependência temporal e a Transformada de Fourier mais conveniente para problemas com dependência espacial.

Aplicabilidade[editar | editar código-fonte]

A metodologia da transformada integral é uma entre as metodologias de grande valia empregadas na busca de soluções para equações diferenciais não triviais. Esta metodologia consiste em aplicar uma transformada integral específica a um determinado problema, reduzindo-o a um problema, em geral, mais simples de ser resolvido. Resolve-se o problema transformado e recupera-se a solução do problema original através da respectiva transformada inversa.

Constitui ferramenta de suma relevância em áreas envolvendo ciências naturais e tecnologia. Em um caso típico, durante a análise de circuitos, a transformada de Fourier permite que um dado sinal inicialmente expresso no domínio do tempo seja adequadamente transcrito para o domínio da frequência, fornecendo o espectro correspondente e permitindo, por exemplo, a compreensão dos filtros passa-faixa eletrônicos utilizados na separação de estações distintas nos rádios de difusão e nos transceptores.

A técnica de ressonância magnetonuclear emprega também transformadas integrais tridimensionais, a fim de, a partir do sinal coletado durante o exame, gerar a imagem direta do órgão, tecido ou objeto em foco. Sem tal recurso, geralmente levado a cabo em um computador, não se poderia obter as imagens características do exame, cujo princípio de funcionamento difere bastante de uma simples radiografia.

Como mais um exemplo, no estudo, projeto e manutenção de controladores proporcionais integrais derivativos (PID), empregados para controlar motores de servomecanismos específicos ou em plantas industriais as mais variadas - a exemplo na indústria automobilística - a transformada de Laplace mostra-se indispensável; e da mesma forma, cada uma das demais transformadas integrais é de grande valia em áreas que abarquem problemas modelados por equações diferenciais, cujas soluções atrelam-se às soluções físicas ou práticas almejadas ou observadas. Constituem valiosas ferramentas sobretudo para a física e engenharia.

Tabela[editar | editar código-fonte]

Tabela de Transformadas integrais
Transformada Símbolo Núcleo da transformada t1 t2
Transformada de Fourier

Transformada de Mellin

Transformada de Laplace bilateral

Transformada de Laplace

Transformada de Hankel

Transformada de Abel

Transformada de Hilbert

Transformada Identidade

Transformada de cosseno

Transformada de wavelet

[nota 1]

Apesar de as propriedades das transformadas integrais variarem muito, elas têm algumas propriedades em comum. Por exemplo, qualquer transformada integral é um operador linear, uma vez que o integral é um operador linear e na verdade caso o kernel seja permitido ser uma função generalizada, então todos os operadores lineares são transformadas integrais (o teorema kernel de Schwartz é uma versão formalizada desta afirmação).

Núcleo da transformada[editar | editar código-fonte]

Em análise matemática, considere-se uma transformada integral T que transforma uma função f numa função Tf dada pela fórmula

A função k(x,y) que aparece nesta fórmula é o núcleo (em inglês: kernel) do operador linear T.

Alguns núcleos possuem núcleos inversos onde (rigorosamente falando) rendem transformações inversas:

Um núcleo simétrico é um núcleo em que as duas variáveis são permutáveis. Hankel demonstrou que núcleos simétricos tais que

e

podem ser gerados a partir das expressões

ou

O caso especial ν = 0 leva diretamente à Transformada de Hankel de ordem 0. O caso especial ν = ±½ leva aos núcleos 2cos(2πut) e 2sen(2πut), que estão relacionados à transformada de Hartley[1].

Em geral, os núcleos são famílias de funções ortogonais, ou ainda, ortonormais.

A Transformada de Karhunen-Loève[editar | editar código-fonte]

As transformadas listadas na tabela acima possuem um núcleo bem definido. Uma transformada integral que não possui essa característica é transformada de Karhunen-Loève (KLT, do inglês Karhunen-Loève transform); neste caso, a base ortogonal usada no núcleo varia com a função a ser transformada. A KLT é importante do ponto de vista teórico porque demonstra-se que ela é ótima sob vários aspectos importantes para o processamento digital de sinais[2].

História[editar | editar código-fonte]

Historicamente, a origem das transformadas integrais remonta ao trabalho de Laplace sobre a teoria da probabilidade, La Théorie Analytique des Probabilities, na década de 1780. Nesse livro aparece a transformada de Laplace, que é, assim, a transformada mais antiga de todas.

O próximo evento importante foi o tratado de Fourier, La Théorie Analytique de la Chaleur, de 1822. Nesse livro aparece o teorema integral de Fourier, bem como as séries e integrais de Fourier, e suas aplicações. Alguns dos resultados de Fourier já eram conhecidos por Laplace, Cauchy e Poisson.

Décadas depois, Heaviside utilizou a transformada de Laplace com sucesso na solução de equações diferenciais ordinárias e parciais relacionadas à análise de circuitos elétricos. Heaviside lançou mão também da idéia do uso de símbolos operadores, lançada por Leibniz e desenvolvida por depois por Lagrange e Laplace, e unindo essas técnicas, criou o que se conhece hoje como cálculo operacional, em seu artigo On Operational Methods in Physical Mathematics, em duas partes, publicadas em 1892 e 1893, e em seu livro Electromagnetic Theory, de 1899.

Apesar do sucesso na aplicação prática, o trabalho de Heaviside foi muito criticado pelos matemáticos por falta de provas rigorosas que justificassem alguns dos seus métodos heurísticos. Assim, seguiu-se um esforço para fornecer tais provas. Bromwich conseguiu provar alguns teoremas por meio da teoria das funções complexas. Seguiram-se as contribuições de Carson, van der Pol e Doetsch, entre outros.

Outras transformações integrais foram introduzidas por Mellin (a transformada de Mellin, já parcialmente conhecida por Riemann), Hankel (a transformada homônima), Hilbert (a transformada de Hilbert, desenvolvida por Hardy e Titchmarsh), Stieltjes (a transformada homônima), Radon (a transformada homônima) e outros. O estudo das transformadas integrais é intenso atualmente e novas transformações importantes foram descobertas recentemente, como é o caso da transformada de wavelet, enunciada por Morlet em 1982[3].

Notas e referências[editar | editar código-fonte]

  1. O asterisco (*) denota o conjugado complexo. A função w é chamada wavelet mãe, e é escolhida de acordo com a aplicação em vista.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 13, pp. 339-340,ISBN 978-0-1381-4757-0
  2. P. Yip - Sine and Cosine Transforms in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 3, pag. 310
  3. L. Debnath, D. Bhatta - Integral Transforms and Their Applications, 2nd. Edition, 2007, Boca Raton, Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-575-7, Cap. 1, pp. 1 a 6