Translação (geometria)

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Uma translação move cada ponto de uma figura ou espaço na mesma proporção em uma determinada direção.
A reflexão da figura vermelha (ABC) sobre o primeiro eixo seguido pela reflexão da figura verde (resultante) contra o segundo eixo paralelo ao primeiro, resulta no movimento total que é uma translação da figura vermelha (ABC) para a posição da figura azul (A'B'C').

Na geometria euclidiana, uma translação é uma transformação geométrica que move todos os pontos de uma figura ou espaço, na mesma distância em uma determinada direção.

Na geometria euclidiana, uma transformação é uma correspondência de um para um entre dois conjuntos de pontos ou uma aplicação de um plano para outro.[1] Uma translação pode ser descrita como um movimento rígido: os outros movimentos rígidos são rotações, reflexos e reflexão com deslizamento.

Uma translação também pode ser interpretada como a adição de um vetor constante a cada ponto, ou como o deslocamento da origem do sistema de coordenadas.

Um operador de translação é o operador tal que

E se é um vetor fixo, então a translação vai funcionar como

E se é uma translação, então a imagem do subconjunto sob a função é a translação de por A translação de por é frequentemente escrita

Em um espaço euclidiano, qualquer translação é uma isometria. O conjunto de todas as translações forma o grupo de translação que é isomórfico ao próprio espaço, e um subgrupo normal do grupo euclidiano O grupo quociente de por é isomorfo ao grupo ortogonal

Representação matricial[editar | editar código-fonte]

Uma translação é uma transformação afim sem pontos fixos. As multiplicações de matrizes sempre têm a origem como um ponto fixo. No entanto, há uma solução alternativa comum usando coordenadas homogêneas para representar uma translação de um espaço vetorial por meio de uma multiplicação matricial: Escreva o vetor tridimensional usando 4 coordenadas homogêneas como [2]

Para transladar um objeto por um vetor cada vetor homogêneo (escrito em coordenadas homogêneas) pode ser multiplicado por esta matriz de translação:

Conforme mostrado abaixo, a multiplicação dará o resultado esperado:

O inverso de uma matriz de translação pode ser obtido invertendo o sentido do vetor:

Da mesma forma, o produto das matrizes de translação é dado pela adição dos vetores:

Como a adição de vetores é comutativa, a multiplicação de matrizes de translação também é comutativa (ao contrário da multiplicação de matrizes arbitrárias).

Translações na física[editar | editar código-fonte]

Na física, a translação (movimento translacional) é o movimento que altera a posição de um objeto, se opondo à rotação. Por exemplo, de acordo com Whittaker: [3][4]

Se um corpo se move de uma posição para outra, e as retas que juntam os pontos iniciais e finais de cada ponto do corpo são um conjunto de retas paralelas de comprimento ℓ, de modo que a orientação do corpo no espaço não é alterada, o deslocamento é chamado de translação paralela na direção das retas, de uma distancia ℓ
E. T. Whittaker A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, p. 1 (em inglês)

Uma translação é a operação que altera as posições de todos os pontos de um objeto de acordo com a fórmula:

em que é o mesmo vetor para cada ponto do objeto. O vetor de translação comum a todos os pontos do objeto descreve um determinado tipo de deslocamento do objeto, geralmente chamado de deslocamento linear para distingui-lo dos deslocamentos que envolvem rotação, denominados deslocamentos angulares.

Ao considerar o espaço-tempo, uma mudança de coordenada no tempo é considerada uma translação. Por exemplo, o grupo de Galileu e o grupo de Poincaré incluem translações em relação ao tempo.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Osgood, William F.; Graustein, William C. (1921). Plane and solid analytic geometry. The Macmillan Company. [S.l.: s.n.] 
  2. Richard Paul, 1981, Robot manipulators: mathematics, programming, and control: the computer control of robot manipulators, MIT Press, Cambridge, MA
  3. Edmund Taylor Whittaker (1988). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies. Cambridge University Press Reprint of fourth edition of 1936 with foreword by William McCrea ed. [S.l.: s.n.] ISBN 0-521-35883-3 
  4. Whittaker, E. T.; McCrae, Sir William (15 de dezembro de 1988). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies. [S.l.]: Cambridge University Press