Trapézio (geometria)

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Trapézio
Trapézio retângulo.PNG
Trápezio retângulo
Arestas e Vértices 4
Área

Na geometria, o trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos entre si, que são chamados de base maior e base menor.

Definição[editar | editar código-fonte]

A definição mais aceita para um trapézio é a seguinte:

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.[1]

Alguns autores[2] definem um trapézio como sendo um quadrilátero que possui exatamente um par de lados paralelos, excluindo portanto os paralelogramos, porém essa definição não é a mais rigorosa existente, pois ela faria com que conceitos tais como o da aproximação trapezoidal para a integral definida fossem mal definidos. Para tanto, admite-se a definição vista acima.[3]

Propriedades dos trapézios[editar | editar código-fonte]

Os trapézios possuem as seguintes propriedades:[1]

  1. Em qualquer trapézio de bases e temos que .
  2. Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.
  3. As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Demonstração das propriedades[editar | editar código-fonte]

1º Propriedade[editar | editar código-fonte]

Em qualquer trapézio de bases e temos que

, é transversal

e

, é transversal

Logo temos que

2° Propriedade[editar | editar código-fonte]

Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiro, enunciá-la matematicamente.

Tomando dois pontos e , de modo que ambos estejam em e que e .

Como é um trapézio nós sabemos que , o que implica que , por serem distâncias entre retas paralelas.

Se observarmos os triângulos e , podemos ver que eles são congruentes:

Como os triângulos são congruentes, temos que .

Por fim, visto que e são suplementares de e , respectivamente (por conta da propriedade demonstrada anteriormente), temos: .

Logo os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.

3º Propriedade[editar | editar código-fonte]

As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiramente, enunciá-la matematicamente.

Observe os triângulos e , que são congruentes:

Sabendo que os triângulos são congruentes temos:

Logo as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Cálculo da área[editar | editar código-fonte]

Um trapézio.

A área A de um trapézio simples (isto é, sem auto-interseções) é dada por[3]

em que B e b são os comprimentos dos lados paralelos (as bases maior e menor) e h é a altura (a distância entre esses lados). Em 499 EC Aryabhata, um grande matemático-astrônomo da era clássica da matemática e física indiana, usou este método no Ariabatiia (seção 2.8).[4] A fórmula anterior tem como caso particular a fórmula que fornece a área de um triângulo, considerando-se um triângulo como um trapézio degenerado em que um dos lados paralelos foi reduzido a um único ponto.

A mediana do trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos. O seu comprimento m é igual à média dos comprimentos das bases do trapézio:

Consequentemente, a área do trapézio é calculada pela multiplicação de sua mediana por sua altura:

O lado de um trapézio retângulo pode ser calculado pela formula:

Referências

  1. a b Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar 9: Geometria plana Atual [S.l.] 
  2. «American School definition from "math.com"». Consultado em 2008-04-14. 
  3. a b Eric W. Weisstein, Trapezoid em MathWorld
  4. Aryabhatiya em marata: आर्यभटीय, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.66, ISBN 978-81-7434-480-9
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