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Disambig grey.svg Nota: Se procura por Gradiente, a empresa e marca, veja Gradiente (empresa).

No cálculo vectorial o gradiente é a alteração no valor de uma quantidade por unidade de espaço.

Por exemplo, o gradiente do potencial eléctrico é o campo eléctrico. O gradiente da energia de campo é a força de campo.

Definição[editar | editar código-fonte]

Dois exemplos de gradiente. Em cada caso o valor da função é indicado pela escala de cinzas.

O vector gradiente ou simplesmente gradiente de uma campo escalar é dado por:

Em notação de soma de Euler temos que:

Já na notação de soma de Einstein para o campo escalar φ:

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Para a função temos para todo .

Expressões[editar | editar código-fonte]

Para todo campo escalar diferenciável em função do espaço cartesiano temos que:

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Linearidade[editar | editar código-fonte]

O gradiente é linear:

Onde é um corpo constante.

Lei de Leibniz[editar | editar código-fonte]

O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:

E na divisão:


Ortogonalidade às curvas de nível[editar | editar código-fonte]

O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja uma função definida em e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto onde x e y são funções de um parâmetro t tal que .

Então, temos:

(diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em , logo os dois são perpendiculares entre si.

Teorema do gradiente[editar | editar código-fonte]

O gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

Derivada direcional[editar | editar código-fonte]

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um vector (no caso abaixo, ).

Sistemas de coordenadas[editar | editar código-fonte]

O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:

Coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]

Para coordenadas espaciais x, y e z.

Coordenadas cilíndricas circulares[editar | editar código-fonte]

Onde representa a distância ao eixo z, é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

Coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]

Onde representa a distância à origem, é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.

Gradientes de tensão[editar | editar código-fonte]

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa freqüência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).

Ver também[editar | editar código-fonte]

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