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Referência: Random field

Um campo aleatório é uma generalização de um processo estocástico tal que o principal parâmetro não precisa mais ser um valor "tempo" real ou inteiro, podendo assumir valores que são vetores multidimensionais ou pontos em uma superfície.^[1]

Em seu caso discreto mais básico, um campo aleatório é uma lista de números aleatórios cujos índices são identificados com um conjunto discreto de pontos em um espaço (por exemplo, um espaço euclidiano n-dimensional). Quando utilizado nas ciências naturais, os valores em um campo aleatório muitas vezes são espacialmente correlacionados. Na sua forma mais básica, isso pode significar que os valores adjacentes (isto é, valores com índices adjacentes) não diferem tanto quanto os valores que estão mais afastados. Este é um exemplo de uma estrutura covariante, de muitos tipos diferentes, que podem ser modelados em um campo aleatório. Mais geralmente, os valores podem ser definidos através de um domínio contínuo, e o campo aleatório pode ser pensado como uma variável aleatória "valorada por uma função".

Definição e exemplos[editar | editar código-fonte]

Dado um espaço de probabilidade $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ , um campo aleatório de valor $X$ é um conjunto de variáveis aleatórias de valor $X$ indexada por elementos em um espaço topológico $T$ . Isto é, um campo aleatório $F$ é uma coleção

\{F_{t}:t\in T\}

onde cada $F_{t}$ é uma variável aleatória de valor $X$ .

Existem vários tipos de campos aleatórios, entre eles o campo aleatório de Markov (MRF), campo aleatório de Gibbs (GRF), campo aleatório condicional (CRF), e campo aleatório gaussiano. Um campo aleatório de Markov apresenta a propriedade markoviana

P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,

para cada escolha de valores $(x_{j})_{j}$ , e para cada $i$ , $\partial _{i}$ é designado um conjunto de "vizinho" ao ponto índice $i$ . Em outras palavras, a probabilidade de que uma variável aleatória assuma um valor depende de outras variáveis aleatóriasapenas por meio das que são suas vizinhas imediatas. A probabilidade de uma variável aleatória em um um MRF é dada por

P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(\omega )}{\sum _{\omega '}P(\omega ')}},

onde $\omega '$ é um subconjunto do parâmeto espaço $\Omega$ , válido para $x_{i}$ . É difícil calcular com essa equação, sem recorrer à relação entre MRFs e GRFs proposta por Julian Besag em 1974.^[2]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Campos aleatórios são de grande utilidade no estudo de processos naturais pelo método de Monte Carlo, nos quais os campos aleatórios correspondem a propriedades variando espacialmente naturalmente, como a permeabilidade do solo em uma escala de metros ou a resistência do concreto em uma escala de centímetros. Isto leva a campos aleatórios tensores nos quais o papel-chave é feito por um elemento de volume estatístico (SVE); quando o SVE torna-se suficientemente grande, suas propriedades tornam-se determinísticas e um recupera o elemento de volume representativo (RVE) da física contínua determinística.^[3] O segundo tipo de campos aleatórios que aparece nas teorias contínuas é o de quantidades dependentes (temperatura, deslocamento, velocidade, deformação, rotação, forças de corpo e superfície, estresse, etc.).^[4]

Um outro uso comum de campos aleatórios está na geração de computação gráfica, particularmente aquelas que imitam superfícies naturais como água e terra.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

↑ Vanmarcke, Erik (2010). Random Fields: Analysis and Synthesis. [S.l.]: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9812563538
↑ Besag, J. E. "Spatial Interaction and the Statistical Analysis of Lattice Systems", Journal of Royal Statistical Society: Series B 36, 2 (May 1974), 192-236.
↑ Ostoja-Starzewski, M.; Shen, L.; Malyarenko, A. (2013), «Tensor random fields in conductivity and classical or micropolar elasticity» (PDF), Mathematics & Mechanics of Solids
↑ Ostoja-Starzewski, Shen and Malyarenko

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Adler, RJ & Taylor, Jonathan (2007). Random Fields and Geometry. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-387-48112-8

Khoshnevisan (2002). Multiparameter Processes - An Introduction to Random Fields. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-95459-7

Category:Spatial processes

[1] Vanmarcke, Erik (2010). Random Fields: Analysis and Synthesis. [S.l.]: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9812563538

[2] Besag, J. E. "Spatial Interaction and the Statistical Analysis of Lattice Systems", Journal of Royal Statistical Society: Series B 36, 2 (May 1974), 192-236.

[3] Ostoja-Starzewski, M.; Shen, L.; Malyarenko, A. (2013), «Tensor random fields in conductivity and classical or micropolar elasticity» (PDF), Mathematics & Mechanics of Solids

[4] Ostoja-Starzewski, Shen and Malyarenko

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[2]

[3]

[4]

v d e Processos estocásticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatório Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton–Watson Processo de Moran Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Tempo contínuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursão Fracionário Geométrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming–Viot Processo de Hunt Difusão de Itô Processo de Itô Processo Lévy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean–Vlasov Processo Ornstein–Uhlenbeck Processo de Poisson Evolução de Schramm–Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatório de tempo contínuo Processo empírico Difusão de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Löcherbach Cadeias estocásticas com memória de alcance variável Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruído branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatório de Markov Processo de Pitman–Yor Grafo aleatório
Modelos de série temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Chen Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Modelos atuariais	Bühlmann Cramér–Lundberg Sparre–Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Càdlàg Processo contínuo de Feller Gauss–Markov Markov Contínuo Reversível no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergódica Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko Lei dos grandes números Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder–Davis–Gundy Kunita–Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Fórmula de Cameron–Martin Convergência de variáveis aleatórias Exponencial de Doléans-Dade Teorema da decomposição de Doob–Meyer Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman–Kac Teorema de Girsanov Integral de Itô Lema de Itō Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensão de Kolmogorov Métrica de Lévy–Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representação de Skorokhod Espaço de Skorokhod Equação diferencial estocástica Tanaka Integral de Stratonovich Espaço de Wiener Clássico Abstrato Princípio da reflexão
Disciplinas	Ciências atuariais Econometria Teoria ergódica Matemática financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatística Cálculo estocástico Série temporal Aprendizado de máquina
Categoria:Processos estocásticos