Usuária:MCarrera (NeuroMat)/Testes/Média (fórmulas)

0 – Média, em Wikipédia, a enciclopédia livre em pt.wikipedia.org.

Teoria das probabilidades
Axiomas de probabilidade
Espaço de probabilidade Espaço amostral Evento primário Evento Variável aleatória Medida de probabilidade
Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade conjunta Probabilidade marginal Probabilidade condicional
Independência Independência condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes números Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árvore

1 – Em estatística, média é definida como o valor que mostra para onde se concentram os dados de uma distribuição como o ponto de equilíbrio das frequências em um histograma. Média também é interpretada como um valor significativo de uma lista de números. Os valores de uma lista de números podem ser representados por meio da escolha aleatória de um número. Se todos os números forem iguais, o número escolhido aleatoriamente será a média. Então, a média pode ser calculada meio da combinação dos números de maneira específica e da geração de um valor significativo. Entretanto, a palavra média é usualmente usada em métodos mais sofisticados como média aritmética, mediana, moda, entre outros. 

2 – História

3 – Origem

4 – O primeiro registro da ampliação da média aritmética de 2 para $n$ casos para realização de estimativas ocorreu no século XVI. Do século XVI em diante, a média gradualmente se tornou um método comum para reduzir erros de medidas em várias áreas. Na época, os astrônomos queriam saber o valor real de medições imprecisas com a posição de um planeta ou o diâmetro da lua. Com a média de vários valores medidos, cientistas assumiram que o número de erros era relativamente pequeno em comparação com o total de valores medidos. O método de tirar a média para reduzir os erros de observação foi principalmente desenvolvido na astronomia.

5 – Um possível precursor da média aritmética é a mid-range (média de dois valores extremos), usada na astronomia árabe do século IX ao século XI e também na metalurgia e na navegação. Entretanto, há várias outras referências vagas sobre o uso da média aritmética. Elas não são tão claras, mas podem ter relação com a definição moderna de média. De acordo com um texto referente ao século IV:

6 – Citação.

“ Em primeiro lugar, devemos estabelecer uma sequência de números de mônada a 9: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Em seguida, devemos acrescentar o montante de todos os números juntos e, uma vez que a sequência contém nove termos, devemos procurar a nona parte do todo para verificar se ela está naturalmente presente entre os números da sequência, então encontraremos que a propriedade de ser [um] nono [da soma] apenas pertence a própria média [aritmética]. Existem potenciais referências ainda mais antigas. Há registros de que por volta de 700 aC, comerciantes e transportadores concordaram que o dano à carga e ao navio (sua contribuição em caso de danos no mar) deveria ser dividido igualmente entre eles. Isso deve ter sido calculado usando média, embora pareça não haver registros diretos do cálculo. ”

7 – Etimologia

8 – De acordo com o Oxford English Dictionary, poucas palavras receberam uma maior investigação etimológica.

9 – Em um primeiro uso em inglês da palavra datado do final do século XV, média significava taxas alfandegárias e era usada na região do Mediterrâneo. Em seguida, média passou a significar o custo dos danos ocorridos no mar. Inclusive, surgiu o termo regulador de média para designar a pessoa que decidia como dividir os danos entre os proprietários e os seguradores do navio e da carga. Os danos ocorridos em mar (médias particulares) eram arcados apenas pelos proprietários da carga danificada (média geral), de modo que o proprietário podia reivindicar uma contribuição proporcional de todas as partes do empreendimento marítimo. O tipo de cálculo usado para regular a média geral deu origem ao uso da média como média aritmética.

10 – Em um segundo uso em inglês da palavra datado de 1674, média (averish) significava o resíduo ou o segundo crescimento dos campos de colheita que eram considerados apropriados para consumo pelos animais de tração (avers). A raiz da palavra average (média, em inglês) é encontrada em árabe como awar, em italiano como avaria, em francês como avarie e em holandês como averij. Não está claro em qual língua a palavra apareceu pela primeira vez.

11 – Já em um uso antigo e diferente da palavra datado do século XI, média parecia ser um termo legal para a obrigação de um dia de trabalho para um xerife. O termo legal provavelmente anglicizado de avera foi encontrado no Domesday Book, registro antigo com informações sobre a população inglesa do século XI.

12 – Definição informal

Exemplo de média aritmética, calculada pela soma dos elementos de uma amostra dividida pela quantidade de elementos da mesma amostra. Para o conjunto de dados {1, 2, 3, 4, 5}, a média aritmética é igual a ${\frac {(1+2+3+4+5)}{5}}=3$.

13 – Em estatística, dados possuem posições. Por exemplo, cada valor dos lançamentos de um dado possui sua posição em uma planilha eletrônica. Em estatística, média é uma medida de posição que indica um valor uniforme dos dados. Por exemplo, o conjunto $x=\{2,1,6,5,10\}$ x–minúsculo igual a abre chaves 2, 1, 6, 5, 10 fecha chaves possui média aritmética ${\bar {x}}=4,8$ barra horizontal sobre x–minúsculo igual a 4,8. Embora $4,8$ seja o valor médio, ele não é o valor central definido pela mediana.

A – Imagem. Exemplo de média aritmética, calculada pela soma dos elementos de uma amostra dividida pela quantidade de elementos da mesma amostra. Para o conjunto de dados {1, 2, 3, 4, 5} abre colchetes 1, 2, 3, 4, 5 fecha colchetes, a média aritmética é igual a${\frac {(1+2+3+4+5)}{5}}=3$ 1 mais 2 mais 3 mais 4 mais 5 sobre 5 igual a 3.

14 – Definição formal

Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição simétrica (por exemplo, uma distribuição normal) quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade no espaço amostral e a linha azul representa a localização da média (azul), da mediana (amarelo) e da moda (verde) do conjunto de dados.

Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição assimétrica negativa quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade no espaço amostral, a linha azul (à esquerda) representa a média, a linha amarela (ao meio) representa a mediana e a linha verde (à direita) representa a moda do conjunto de dados.

Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição assimétrica positiva (por exemplo, uma distribuição qui-quadrado) quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade dos dados no espaço amostral, a linha azul (à direita) representa a média, a linha amarela (ao meio) representa a mediana e a linha verde (à esquerda) representa a moda do conjunto de dado

Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição bimodal, formada por outras duas distribuições com seus respectivos parâmetros, que transita entre distribuição assimétrica positiva, distribuição assimétrica negativa e distribuição simétrica conforme as dispersões dos dados no espaço amostral são alteradas. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade dos dados no espaço amostral, a linha azul representa a média, a linha amarela representa a mediana e a linha verde representa a moda do conjunto de dados.

15 – Média aritmética

Ver artigo principal: Média aritmética

16 – Seja $n$ n–minúsculo o número total de valores e $x_{i}$ x–minúsculo subscrito i–minúsculo cada valor, em que $i=1,\dots ,n$ i–minúsculo Igual a um e assim sucessivamente até n–minúsculo . Média aritmética é a soma dos valores$x_{i}$ x–minúsculo subscrito i–minúsculo dividido pelo número total de valores $n$ n–minúsculo:${\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+....+x_{n}}{n}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}$. barra horizontal sobre x–minúsculo igual a razão de x–minúsculo 1 mais x–minúsculo 2 e assim sucessivamente até mais x–minúsculo n–minúsculo por n–minúsculo igual a razão de 1 sobre n–minúsculo somatória sigma–maiúsculo com i–minúsculo igual a 1 até n–minúsculo de x–minúsculo subscrito i–minúsculo.

17 – Imagem. Exemplo de média aritmética, calculada pela soma dos elementos de uma amostra dividida pela quantidade de elementos da mesma amostra. Para o conjunto de dados {1, 2, 3, 4, 5} abre chaves 1, 2, 3, 4, 5 fecha chaves, a média aritmética é igual a: ${\frac {(1+2+3+4+5)}{5}}=3$ razão de 1 mais 2 mais 3 mais 4 mais 5 por 5 igual a 3.

18 – Média geométrica

Ver artigo principal: Média geométrica

19 – Média geométrica é a $n$-ésima raiz do produto de todos os valores $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$x–minúsculo 1 x'–minúsculo 2 e assim sucessivamente até x–minúsculo n–minúsculo':

${\text{MG=}}{\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.$ m–maiúsculo g–maiúsculo igual a raiz n–éssima do produtório pi–maiúsculo com i–minúsculo igual a 1 até n–minúsculo de 'x–minúsculo subscrito i–minúsculo' igual a raiz n–éssima de x–minúsculo 1 vezes x–minúsculo 2 e assim sucessivamente até vezes x–minúsculo n–minúsculo.''''

20 – Média pode ser pensada como o antilogaritmo da média aritmética dos logaritmos dos números. Por exemplo, a média geométrica de 2 e 8 é $MG={\sqrt {2\cdot 8}}=4$ 'm–maiúsculo g–maiúsculo i'gual a raiz quadrada de dois vezes oito igual a quatro.

21 – Média harmônica

Ver artigo principal: Média harmônica

22 – Média harmônica é a recíproca da média aritmética para os valores $x_{i}$x–minúsculo subscrito i–minúsculo:

$MH={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$ ''''m–maiúsculo h–maiúsculo' igual a razão de 1 por 1 sobre n–minúsculo somatória sigma–maiúsculo com i–minúsculo igual a 1 até n–minúsculo de 1 sobre 'x–minúsculo subscrito i–minúsculo, tudo' igual a razão de 'n–minúsculo' por 1 sobre xis'–minúsculo 1' mais 1 sobre xis'–minúsculo 2' e assim sucessivamente até mais 1 sobre xis'–minúsculo n–minúsculo''''

23 – Média harmônica é usada no cálculo de média de velocidade. Por exemplo, se a velocidade de ida um veículo do ponto A ao ponto B é de 60 km/h e a velocidade de volta do mesmo veículo do ponto A ao ponto B é de 40 km/h, então a velocidade média é dada por ${\frac {2}{{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{40}}}}=48$ razão de 2 por 1 sobre 60 mais um sobre quarenta igual a 48. Entretanto, se o veículo tivesse viajado por metade do tempo em uma velocidade e metade do tempo em outra velocidade, a média aritmética de 50 km/h proveria a noção correta de média.

Média harmônica também é usada no cálculo da resistência equivalente em uma associação de vários resistores em paralelo. Por exemplo, se três resistores de valores R1, R2 e R3 estiverem em paralelo, então a resistência R do circuito é dada por $R={\frac {1}{{\frac {1}{R1}}+{\frac {1}{R2}}+{\frac {1}{R3}}}}$ r–maiúsculo igual a razão de 1 por 1 sobre r–maiúsculo 1' mais 1 sobre r–maiúsculo 2 mais 1 sobre r–maiúsculo 3.'

24 – Média Ponderada

25 – Média ponderada é a média aritmética com um cociente $x_{i}$ ponderando os valores. O valor de $x_{i}$ pode ser sempre igual ou diferente:

${\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}$ razão de somatória sigma''''–''''maiúsculo com i''''–''''minúsculo igual a 1 até n''''–''''minúsculo de omega''''–''''minúsculo subscrito i''''–''''minúsculo vezes xis''''–''''minúsculo subscrito i''''–''''minúsculo pela somatória sigma''''–''''maiúsculo com i''''–''''minúsculo igual a 1 até n''''–''''minúsculo de omega''''–''''minúsculo subscrito i''''–''''minúsculo igual a razão de omega''''–''''minúsculo 1 vezes x''''–''''minúsculo 1 mais de omega''''–''''minúsculo 2 vezes x''''–''''minúsculo 2 e assim sucessivamente até mais de omega''''–''''minúsculo n''''–''''minúsculo vezes x''''–''''minúsculo n''''–''''minúsculo por omega''''–''''minúsculo 1 mais omega''''–''''minúsculo 2 e assim sucessivamente até mais omega''''–''''minúsculo n''''–''''minúsculo.

26 – Imagem. Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição simétrica (por exemplo, uma distribuição normal) quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade no espaço amostral e a linha azul representa a localização da média (azul), da mediana (amarelo) e da moda (verde) do conjunto de dados.

27 – Imagem. Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição assimétrica negativa quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade no espaço amostral, a linha azul (à esquerda) representa a média, a linha amarela (ao meio) representa a mediana e a linha verde (à direita) representa a moda do conjunto de dados.

28 – Imagem. Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição assimétrica positiva (por exemplo, uma distribuição qui-quadrado) quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade dos dados no espaço amostral, a linha azul (à direita) representa a média, a linha amarela (ao meio) representa a mediana e a linha verde (à esquerda) representa a moda do conjunto de dados.

29 – Imagem. Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição bimodal, formada por outras duas distribuições com seus respectivos parâmetros, que transita entre distribuição assimétrica positiva, distribuição assimétrica negativa e distribuição simétrica conforme as dispersões dos dados no espaço amostral são alteradas. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade dos dados no espaço amostral, a linha azul representa a média, a linha amarela representa a mediana e a linha verde representa a moda do conjunto de dados.

A – Imagem. Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição simétrica (por exemplo, uma distribuição normal) quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade no espaço amostral e a linha azul representa a localização da média (azul), da mediana (amarelo) e da moda (verde) do conjunto de dados.

B – Imagem. Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição assimétrica negativa quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade no espaço amostral, a linha azul (à esquerda) representa a média, a linha amarela (ao meio) representa a mediana e a linha verde (à direita) representa a moda do conjunto de dados.

C – Imagem. Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição assimétrica positiva (por exemplo, uma distribuição qui-quadrado) quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade dos dados no espaço amostral, a linha azul (à direita) representa a média, a linha amarela (ao meio) representa a mediana e a linha verde (à esquerda) representa a moda do conjunto de dado

D – Imagem. Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição bimodal, formada por outras duas distribuições com seus respectivos parâmetros, que transita entre distribuição assimétrica positiva, distribuição assimétrica negativa e distribuição simétrica conforme as dispersões dos dados no espaço amostral são alteradas. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade dos dados no espaço amostral, a linha azul representa a média, a linha amarela representa a mediana e a linha verde representa a moda do conjunto de dados.

30 – Diferença entre média aritmética, média geométrica e média harmônica

31 – Uma diferença conhecida entre média aritmética, média geométrica e média harmônica é que$MA\geq MG\geq MH$ média artimética maior ou igual a mégia geomátrica maior ou igual a média harmônica, para qualquer conjunto de números positivos (a ordem alfabética das letras A para aritmética, G para geométrica e H para harmônica facilita a memorização da propriedade).

32 –Exemplos

33 – Média aritmética

34 – Uma fábrica produz 200, 100, 50, 100, 150 e 200 unidades de um produto entre janeiro e junho. Qual a produção média mensal da fábrica no semestre? Para encontrar a produção média mensal da fábrica no semestre, é preciso calcular a média $M$ m–maiúsculo ou o valor matemático da sua produção média mensal entre janeiro e junho. Se a fábrica tivesse o mesmo desempenho entre janeiro e junho, sua produção total seria $6\times M=6M$ 6 vezes a média m–maiúsculo unidades no semestre.

Então:

$6M=200+100+50+100+150+200=600$ 6 vezes a média m–maiúsculo igual a 200 mais 100 mais 50 mais 100 mais 150 mais 200 igual a 600.

$M={\frac {600}{6}}=100$ média m–maiúsculo igual a 600 sobre 6, que é igual a 100.

35 – Isto é, a fábrica produz em média 100 unidades entre janeiro e junho.

36 – Média geométrica

37 – O aumento da taxa de crescimento de uma empresa em novembro e em dezembro foi de $4\%$ e $20\%$, respectivamente. Qual a taxa de crescimento média mensal da empresa no período?

38 – Embora o cálculo ${\frac {4\%+20\%}{2}}=12\%$ 4% mais 20% sobre 2 igual a 12% pareça razoável, é preciso encontrar uma mesma taxa de crescimento $i$ i–minúsculo para o período. O crescimento total da empresa no período foi de $100\times 1,04\times 1,20=124,8$ 100 vezes 1,04 vezes 1,20 igual a 124,8. Sejam $100(1+i)$ 100 vezes abre parêntesis 1 mais a taxa de crescimento i–minúsculo fecha parêntesis o crescimento total da empresa em novembro e $100(1+i)^{2}$ 100 vezes abre parêntesis 1 mais a taxa de crescimento i–minúsculo fecha parêntesis elevado a 2 o crescimento total da empresa em dezembro.

39 – Então:

$100(1+i)^{2}=124,8$ 100 vezes abre parêntesis 1 mais a taxa de crescimento i–minúsculo fecha parêntesis elevado a 2 igual a 124,8.

$(1+i)^{2}=1,248$ abre parêntesis 1 mais a taxa de crescimento i–minúsculo fecha parêntesis elevado a 2 igual a 1,248.

$1+i={\sqrt[{}]{1,248}}$ 1 mais a taxa de crescimento i–minúsculo igual a raiz quadrada de 1,248.

$1+i\cong 1,17$ 1 mais a taxa de crescimento i–minúsculo igual a aproximadamente 1,17.

$i\cong 0,17$ taxa de crescimento i–minúsculo igual a aproximadamente 0,17.

40 – Isto é, a taxa de crescimento média mensal da empresa foi de cerca de $17\%$ no período.

41 – Média harmônica

42 – Um concurso que distribui anualmente um prêmio de R$ 180 teve 1 ganhador no primeiro ano e 3 ganhadores no segundo ano. Qual foi o prêmio médio dos ganhadores nos dois anos?

43 – O número médio de ganhadores é ${\frac {1+3}{2}}=2$ 1 mais 3 sobre 2 igual a 2, o que não significa que o prêmio médio dos ganhadores tenha sido ${\frac {R\$180}{2}}=R\$90$ 180 reais sobre 2 igual a 90 reais nos dois anos. Para encontrar o prêmio médio dos ganhadores nos dois anos, é preciso calcular o prêmio médios dos ganhadores no primeiro ano e o prêmio médios dos ganhadores no segundo ano. Sejam ${\frac {R\$180}{1}}=R\$180$ 180 reais sobre 1 igual a 180 reais o prêmio médio do ganhador no primeiro ano e ${\frac {R\$180}{3}}=R\$60$ 180 reais sobre 3 igual a 60 reais o prêmio médio dos ganhadores no segundo ano.

44 – Então:

${\frac {R\$180+R\$60}{2}}=R\$120$ 180 reais mais 60 reais sobre dois igual a 120 reais.

45 – Isto é, o prêmio médio dos ganhadores nos dois anos foi $R\$120$.

46 – Em termos algébricos:

${\frac {180\times {\frac {1}{1}}+180\times {\frac {1}{3}}}{2}}=180\times {\frac {{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}}{2}}=180/{\frac {2}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}}}$ a razão de 180 vezes 1 sobre 1 mais 180 vezes 1 sobre 3 por 2 igual a 180 vezes a razão de 1 sobre 1 mais 1 sobre 3 por 2, tudo igual a 180 dividido pela razão de 2 por 1 sobre 1 mais 1 sobre 3.

47 – Portanto, a média harmônica de total numero de ganhadores em dois anos é ${\frac {2}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}}}$ a razão de dois por 1 sobre 1 mais 1 sobre 3.

48 – Média ponderada

49 – Em um grupo de pessoas, 20% delas são adultas e 80% delas são crianças. Os adultos pesam em média 75 quilos e as crianças pesam em média 45 quilos. Qual o peso médio do grupo?

50 – Os adultos correspondem a 20% ou a 0,2 do grupo, enquanto as crianças correspondem a 80% ou a 0,8 do grupo. A média ${\frac {75+45}{2}}=60$ 75 mais 45 sobre 2 igual a 60 não está correta porque a média dos pesos médios dos adultos e das crianças não demonstram o peso médio do grupo. Se 20% das pessoas do grupo pesam 75 quilos, então 0,2 x 75 = 15 quilos 0,2 vezes 75 quilos igual a 15 quilos. Se 80% das pessoas do grupo pesam 45 quilos, então 0,8 x 45 = 36 quilos 0,8 vezes 45 quilos igual a 36 quilos.

51 – Então:

52 – $(0,2\times 75)+(0,8\times 45)=15+36=51$ abre parêntesis 0,2 vezes 75 fecha parêntesis mais abre parêntesis 0,8 vezes 45 fecha parêntesis igual a 15 mais 36 igual, a 51.

53 – Isto é, o peso médio do grupo é 51 quilos. Foi possível calcular a média ponderada a partir das diferentes proporções entre adultos e crianças no grupo.

54 – Exemplos aplicados ao mercado financeiro

55 – Taxa de retorno e CAGR

56 – Taxa de retorno é um tipo de média usada em finanças. Quando a taxa de retorno é anual, ela é chamada de taxa composta anual de crescimento (CAGR). Seja um investimento em um período de dois anos com taxa de retorno de –10% no primeiro ano e +60% no segundo ano. A taxa de retorno ou a taxa composta anual de crescimento $R$ r–maiúsculo é obtida pelo cálculo da seguinte equação

$(1-10\%)\times (1+60\%)=(1-0,1)\times (1+0,6)=(1+R)\times (1+R)$ abre paréntesis 1 menos 10% fecha paréntesis vezes abre paréntesis 1 mais 60% fecha paréntesis igual a abre paréntesis 1 menos 0,1 fecha paréntesis vezes abre paréntesis 1 mais 0,6 fecha parêntesis igual a abre paréntesis 1 mais a taxa composta anual de crescimento r–maiúsculo fecha paréntesis vezes abre paréntesis a taxa composta anual de crescimento r–maiúsculo fecha paréntesis fecha paréntesis.

57 – O valor de $R$ d'a taxa composta anual de crescimento r–maiúsculo' que torna a equação verdadeira é 0,2 (equivalente a 20%), o que significa que o retorno total sobre um investimento em um período de dois anos é igual ao retorno total se houve crescimento de 20% em cada ano. Lembrando que a ordem dos anos não faz diferença (as taxas de retorno de +60% e –10% dariam os mesmos resultados se as taxas de retorno fossem de –10% e +60%).

58 – O método pode ser ampliado para exemplos nos quais os períodos não são iguais. Seja a taxa de retorno de –23% em um período de meio ano e +13% mais treze porcento em um período de dois anos e meio. A taxa de retorno para os dois períodos é igual ao retorno anual $R$ 'a taxa composta anual de crescimento r–maiúsculo', obtido pelo cálculo da seguinte equação:$(1-0,23)^{0,5}\times (1+0,13)^{2,5}=(1+R)^{0,5+2,5}$abre parêntesis 1 menos 0,23 fecha parêntesis elevado a 0,5 vezes abre parentesis 1 mais 0,13 fecha parêntesis. elevado a 2,5 igual a abre parênteses 1 mais a taxa composta anual de crescimento r–maiúsculo fecha paréntesis elevado a 0,5 mais 2,5, que resulta em uma taxa de retorno $R$ ''''r–maiúsculo'''' de 0,06 ou 6%.

59 – Média móvel

60 – Dada uma série temporal como os preços diários das ações, deseja-se muitas vezes criar uma séria mais suave. Isso ajudar a mostrar as tendências subjacentes ou os comportamentos periódicos dos fenômenos. Uma maneira fácil de fazer isso é escolher um número $n$ n–minúsculo e criar uma série, calculando a média aritmética dos primeiros $n$ valores, depois calcular média aritmetica andando para frente passo a passo: sejam $p_{1},p_{2},\dots ,p_{N}$p–minúsculo 1 p–minúsculo 2 e assim sucessivamente até p–minúsculo n–maiúsculo preços observados, a sequencia de média móvel ${\bar {p}}_{i},i=1,\dots ,N-n+1$ barra horizontal sobre p–minúsculo subscrito i–minúsculo, tal que i–minúsculo igual a 1 e assim sucessivamente até n–maiúsculo menos n–minúsculo mais 1 é definida como ${\bar {p}}_{i}={\frac {p_{i}+p_{i+1}+\dots +p_{i+n-1}}{n}}$ 'barra horizontal sobre p–minúsculo subscrito i–minúsculo' igual a razão de p–minúsculo subscrito i–minúsculo mais p–minúsculo subscrito i–minúsculo mais 1 e assim sucessivamente até mais p–minúsculo subscrito i–minúsculo mais n–minúsculo menos 1 por n–minúsculo. Essa é a forma mais simples de média móvel.

61 – Formas mais complicadas de média móvel envolvem média ponderada. A ponderação pode ser usada para melhorar ou suprimir vários comportamentos periódicos. Há uma análise muito extensa sobre quais ponderações usar na literatura sobre filtro digital. No processamento de sinal, o termo média móvel é usado mesmo quando a soma dos pesos não é 1 (então, serie resultante é uma versão em escala das médias). O motivo é que a análise é geralmente voltada somente para o comportamento periódico. Uma outra generalização é uma média móvel autoregressiva, em que a média também inclui alguns das médias moveis recém calculadas. Isso permite que amostras antigas históricas afetem resultados de calculo recentes.

62 – Generalização da média

63 – Entre outros tipos mais sofisticados de média estão tri-média, tri-mediana e média normalizada. É possível criar uma métrica de média usando uma f-média generalizada:

$y=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\left[f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{n})\right]\right)$, ipsilon–minúsculo igual a f–minúsculo elevado a menos 1 abre parentesis um sobre n–minúsculo vezes abre colchetes função f–minúsculo de x–minúsculo 1 mais função f–minúsculo de x–minúsculo 2 e assim sucessivamente até mais função f–minúsculo de x–minúsculo n–minúsculo fecha colchetes fecha parentesis, em que $f$ f–minúsculo é qualquer função inversível. Por exemplo, a média geométrica usando $f(x)=log(x)$ função f–minúsculo de x–minúsculo igual a função logarítmico de x–minúsculo' e a média harmônica usando $f(x)={\frac {1}{x}}$ 'função f–minúsculo de x–minúsculo i'gual a 1 sobre 'x–minúsculo''''

64 ''''–'''' Entretanto, o método envolvendo médias generalizadas não é geral o suficiente para abordar todas as médias. Um método mais geral para definir uma média envolve qualquer função $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ 'g–minúsculo de x–minúsculo'''' 1 'x–minúsculo' 2 e assim sucessivamente até 'x–minúsculo' n'–minúsculo'''' contínua, estritamente crescente em cada argumento e simétrica (invariante sob a permutação dos argumentos).

65 ''''–'''' A média $y$ ipsilon''''–''''minúsculo é o valor que, quando cada argumento é substituído por $y$ ipsilon''''–''''minúsculo, resultada no mesmo valor da função: $g(y,y,...,y)=g(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ g''''–''''minúsculo de ipsilon''''–''''minúsculo ipsilon''''–''''minúsculo e assim sucessivamente até ipsilon''''–''''minúsculo igual a função g''''–''''minúsculo de ''''x–minúsculo'''' 1 'x–minúsculo' 2 e assim sucessivamente até 'x–minúsculo' n'–minúsculo.''''''' Essa definição mais geral aborda a propriedade importante de todas as médias, em que a média de uma lista de elementos iguais é o próprio elemento.

66 ''''–'''' A função $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}+x_{2}+...+x_{n}$'g''''–''''minúsculo de ''''x–minúsculo'''' 1 'x–minúsculo' 2 e assim sucessivamente até 'x–minúsculo' n'–minúsculo i'''''''gual a '''''''x–minúsculo''''''' '1 mais 'x–minúsculo' 2 e assim sucessivamente até mais 'x–minúsculo' n'–minúsculo'''''''''' fornece a média aritmética. A função $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}\times x_{2}\times ...\times x_{n}$'g''''–''''minúsculo de ''''x–minúsculo'''' 1 'x–minúsculo' 2 e assim sucessivamente até 'x–minúsculo' n'–minúsculo i'''''''gual a '''''''x–minúsculo''''''' '1 vezes 'x–minúsculo' 2 e assim sucessivamente até vezes 'x–minúsculo' n'–minúsculo'''''''''' em que a lista de elementos é formada por números positivos, fornece a média geométrica. A função $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=-(x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+...+x_{n}^{-1})$, ''''g''''–''''minúsculo de ''''x–minúsculo'''' 1 'x–minúsculo' 2 e assim sucessivamente até 'x–minúsculo' n'–minúsculo i'''''''gual a '''''''x–minúsculo''''''' '1 elevado a menos 1 mais 'x–minúsculo' 2 elevado a menos 1 e assim sucessivamente até mais 'x–minúsculo' n'–minúsculo elevado a menos 1''''''''''''' em que a lista de elementos também é formada por números positivos, fornece a média harmônica.

67 ''''–'''' Medidas de tendência central

Nome	Equação / Descrição
Média	Média é o valor médio de uma distribuição. Ela é utilizada para representar todos os valores da distribuição.
Média aritmética	${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})$ barra horizontal sobre xis''''–''''minúsculo igual 1 sobre n''''–''''minúsculo somatória sigma''''–''''maiúsculo com i''''–''''minúsculo igual a 1 até n''''–''''minúsculo de x''''–''''minúsculo subscrito i''''–''''minúsculo, tudo igual 1 sobre n''''–minúsculo'''' vezes abre parêntesis x''''–''''minúsculo 1 e assim sucessivamente até mais x''''–''''minúsculo n''''–''''minúsculo.
Média geométrica	${\bigg (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}^{1/n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}$ produtório pi''''–''''maiúsculo com i''''–''''minúsculo igual a 1 até n''''–''''minúsculo de x''''–''''minúsculo subscrito i''''–''''minúsculo elevado a 1 sobre n''''–''''minúsculo igual a raiz n''''–''''éssima de x''''–''''minúsculo 1 vezes x''''–''''minúsculo 2 e assim sucessivamente até x''''–''''minúsculo n''''–''''minúsculo.
Média harmônica	${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$ razão de n''''–''''minúsculo por 1 sobre x''''–''''minúsculo 1 mais 1 sobre x''''–''''minúsculo 2' e assim sucessivamente até mais 1 sobre x''''–''''minúsculo n''''–''''minúsculo.'
Média ponderada	${\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}$ razão de somatória sigma''''''''''–''''''''''maiúsculo com i''''''''''–''''''''''minúsculo igual a 1 até n''''''''''–''''''''''minúsculo de omega''''''''''–''''''''''minúsculo subscrito i''''''''''–''''''''''minúsculo vezes x''''''''''–''''''''''minúsculo subscrito i''''''''''–''''''''''minúsculo pela somatória sigma''''''''''–''''''''''maiúsculo com i''''''''''–''''''''''minúsculo igual a 1 até n''''''''''–''''''''''minúsculo de omega''''''''''–''''''''''minúsculo subscrito i''''''''''–''''''''''minúsculo igual a razão de omega''''''''''–''''''''''minúsculo 1 vezes x''''''''''–''''''''''minúsculo 1 mais omega''''''''''–''''''''''minúsculo 2 vezes x''''''''''–''''''''''minúsculo 2 e assim sucessivamente até omega''''''''''–''''''''''minúsculo n''''''''''–''''''''''minúsculo vezes x''''''''''–''''''''''minúsculo n''''''''''–''''''''''minúsculo por omega''''''''''–''''''''''minúsculo 1 mais omega''''''''''–''''''''''minúsculo 2 e assim sucessivamente até mais omega''''''''''–''''''''''minúsculo n''''''''''–''''''''''minúsculo.
Média quadrática (RMS)	${\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}$ raiz quadrada de 1 por n'''''''''''''–'''''''''''''minúsculo somatória sigma''''''''''–''''''''''maiúsculo com i''''''''''–''''''''''minúsculo igual a 1 até n''''''''''–''''''''''minúsculo de x'''''''''''''–'''''''''''''minúsculo subscrito i'''''''''''''–'''''''''''''minúsculo elevado a 2 igual a raiz quadrada da razão de x'''''''''''''–minúsculo 1''''''''''''' elevado a 2 mais x'''''''''''''–minúsculo 2''''''''''''' elevado a 2 e assim sucessivamente até mais x'''''''''''''–minúsculo n–minúsculo elevado a 2''''''''''''' por n'''''''''''''–'''''''''''''minúsculo.
Média cúbica	${\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{3}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\right)}}$ raiz cubica de 1 por n'''''''''''''–'''''''''''''minúsculo somatória sigma''''''''''–''''''''''maiúsculo com i''''''''''–''''''''''minúsculo igual a 1 até n''''''''''–''''''''''minúsculo de x'''''''''''''–'''''''''''''minúsculo subscrito i'''''''''''''–'''''''''''''minúsculo elevado a 3 igual a raiz cubica de um sobre n'''''''''''''–'''''''''''''minúsculo vezes abre parentesis x'''''''''''''–minúsculo 1''''''''''''' elevado a 3 mais x'''''''''''''–minúsculo 2''''''''''''' elevado a 3 e assim sucessivamente até mais x'''''''''''''–minúsculo n–minúsculo elevado a 3 fecha parentesis.''''''''''''''''
Média generalizada	${\sqrt[{p}]{{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}}}$ 'raiz p–éssima de 1 por n–minúsculo somatória sigma–maiúsculo com i–minúsculo igual a 1 até n–minúsculo de x–minúsculo subscrito i–minúsculo elevado a p–minúsculo.'
Média heroniana	${\frac {2}{n(n+1)}}\cdot \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i}^{n}{\sqrt {x_{i}x_{j}}}$ razão de 2 por n'''''''''''''''''''–'''''''''''''''''''minísculo vezes abre parêntesis n'''''''''''''''''''–'''''''''''''''''''minúsculo mais 1 fecha parêntesis vezes s'omatória sigma''''''''''–''''''''''maiúsculo com i''''''''''–''''''''''minúsculo igual a j''''''''''–''''''''''minúsculo até n''''''''''–''''''''''minúsculo' vezes s'omatória sigma''''''''''–''''''''''maiúsculo com i''''''''''–''''''''''minúsculo igual a j''''''''''–''''''''''minúsculo até n''''''''''–''''''''''minúsculo da 'raiz quadrada de x''''''''''–''''''''''minúsculo subscrito i''''''''''–''''''''''minúsculo' vezes x''''''''''–''''''''''minúsculo subscrito j''''''''''–''''''''''minúsculo.'
Média aparada (média truncada)	Média aritmética dos valores após um certo número ou uma certa proporção maiores e menores terem sido descartados. Entre os casos de média aparada (média truncada), estão a média interquartílica (amplitude interquartícula) que usa a variação interquartílica e a média de Windsor que em vez de excluir os valores extremos os tornam iguais ao maior e ao menor valores restantes.

68 ''''–'''' Outras medidas de tendência central

69 ''''–'''' Mediana

Ver artigo principal: Mediana (estatística)

70 ''''–'''' O número do meio de uma lista de valores em ordem crescente ou decrescente é chamado de mediana (se houver uma quantidade ímpar de valores, a média dos dois números do meio é calculada). Então, para encontra a mediana é preciso ordenar a lista de valores e excluir os maiores e os menores valores até sobrarem um ou dois números. Se sobrar um número, a mediana será ele. Se sobrarem dois números, a mediana será a média aritmética de ambos. Seja a lista de valores 3, 7, 1 e 13. Se a lista de valores for ordenada para 1, 3, 7 e 13 e 1 e 13 forem removidos, sobrarão 3 e 7. Como sobraram dois valores, a mediana será a média aritmética ${\frac {3+7}{2}}=5$ 3 mais 7 sobre 2 igual a 5.

71 ''''–'''' Moda

Ver artigo principal: Moda (estatística)

72 ''''–'''' O número mais frequente em uma lista de valores é chamado de moda. Por exemplo, a moda de uma lista de valores 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4 é 3. Em casos em que dois ou mais números aparecem com mesma frequência ou com maior frequência que outros números, não há uma definição acordada de moda. Há autores que afirmar que todos eles são modas e há autores que afirmam que nenhum deles são modas.

73 ''''–'''' Fim da gravação. Materiais adicionais como notas, referências, bibliografias e ligações externas estão disponíveis no artigo original escrito na Wikipédia.

74 – Texto narrado pelo usuário Mariliawikipedia pelo Centro de Pesquisa, Inovação e Difusão em Neuromatemática, com i apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo, para a Wikipédia lusófona. Este áudio está licenciado sob Creative Commons Attribution ShareAlike 4.0 Unported.

75 – Índice

1 História 1.1 Origem 1.2 Etimologia 2 Definição informal 3 Definição formal 3.1 Média aritmética 3.2 Média geométrica 3.3 Média harmônica 3.4 Média Ponderada 4 Diferença entre média aritmética, média geométrica e média harmônica 5 Exemplos 5.1 Média aritmética 5.2 Média geométrica 5.3 Média harmônica 5.4 Média ponderada 6 Exemplos aplicados ao mercado financeiro 6.1 Taxa de retorno e CAGR 6.2 Média móvel 7 Generalização da média 8 Medidas de tendência central 9 Outras medidas de tendência central 9.1 Mediana 9.2 Moda