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Problema de Apolônio

en:Problem of Apollonius

Figura 1: Uma solução (em rosa) ao problema de Apolônio. Os círculos dados são mostrados em preto.

Figura 2: Quatro pares complementares de soluções para o problema de Apolônio; Os círculos dados são pretos.

Em Geometria euclidiana plana, o problema de Apolônio ^{(português brasileiro)} ou problema de Apolónio ^{(português europeu)} é a construção de uma circunferência que seja tangente a três círculos dados em um plano (Figura 1). Apolônio de Perga (262 a.C. — 194 a.C.) propôs e resolveu este famoso problema em sua obra Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangências"); este trabalho foi perdido, mas registros de seus resultados escritos por Pappus de Alexandria no século IV sobreviveram. Três círculos dados arbitrariamente têm oito círculos distintos que são tangentes a eles (Figura 2) e cada círculo da solução encapsula ou exclui os três círculos de maneira diferente: em cada solução, um subconjunto dos três círculos dados é encapsulado (seu complemento é excluído) e existem 8 subconjuntos de um conjunto cuja cardinalidade é 3, uma vez que $8=2^{3}$

No século XVI, Adriaan van Roomen resolveu o problema usando hipérboles intersectantes, mas esta solução não usa somente construções com régua e compasso. François Viète descobriu tal solução explorando casos limite: qualquer um dos três círculos dados pode ser encolhido ao raio zero (um ponto) ou expandido ao raio infinito (uma reta). a abordagem de Viète, que usa casos limite triviais para resolver os casos mais complicados, é considerada uma reconstrução plausível do método de Apolônio. O método de van Roomen foi simplificado por Isaac Newton, que mostrou que o problema de Apolônio é equivalente a achar uma posição das diferenças de suas distâncias a três pontos conhecidos. Isto tem aplicações em navegação e sistemas de posicionamento tais como LORAN.

Matemáticos posteriores introduziram métodos algébricos, que transformam um problema geométrico em equações algébricas. Estes métodos foram simplificados explorando simetrias inerentes ao problema de Apolônio: por exemplo, as circunferências da solução genericamente ocorrem em pares, com uma solução encapsulando os círculos dados que a outra exclui (Figura 2). Joseph Diaz Gergonne usou essa simetria para prover uma elegante solução com régua e compasso, enquanto outros matemáticos usaram transformações geométricas como reflexão em um círculo para simplificar a configuração dos círculos dados. Estes desenvolvimentos provêm uma configuração geométrica para métodos algébricos (usando geometria esférica de Lie) e uma classificação de soluções de acordo com 33 configurações essencialmente diferentes dos círculos dados.

O problema de Apolônio tem estimulado muitos trabalhos. Generalizações em três dimensões — construindo uma esfera tangente a quatro outras esferas dadas — ou mais têm sido estudadas. A configuração de três círculos mutualmente tangentes tem recebido particular atenção. René Descartes deu uma fórmula relacionando os raios dos círculos das soluções e dos círculos dados, agora conhecida como Teorema de Descartes. Resolver o problema de Apolônio iterativamente nesse caso leva a circunferência de Apolônio,que é um dos primeiros fractais a serem descritos impressos, e é importante na teoria dos números através dos círculos de Ford e do método do círculo de Hardy e Littlewood.

Definição do problema

A definição geral do problema de Apolônio é construir um ou mais círculos que são tangentes a três objetos dados em um plano, onde um objeto pode ser uma linha, um ponto ou um círculo de qualquer tamanho. Estes objetos podem ser arranjados de qualquer maneira e podem cruzar uns aos outros. entretanto, eles são usualmente tomados como distintos, significando que eles não se coindicem. Soluções ao problema de Apolônio são chamadas às vezes de círculos de apolônio, embora o temo também seja usado para outros tipos de círculos associados a Apolônio.

A propriedade de tangência é definida como segue. Primeiro, um ponto, uma linha ou um círculo é assumido a ser tangente a ele mesmo; então, se um círculo dado já é tangente aos outros dois objetos dados, é contado como uma solução para o problema de Apolônio. Dois objetos distintos são ditos interceptados se eles têm um ponto em comum. Por definição, um ponto é tangente a um círculo ou a uma linha se os intercepta, isto é, se repousa em sua fronteira; portanto, dois pontos distintos não podem ser tangentes. Se o ângulo entre linhas ou círculos em algum ponto de interseção é zero, eles são ditos serem tangentes; O ponto de interseção é chamado de ponto tangente ou ponto de tangência. (A palavra "tangente" deriva do particípio presente do Latim tangens, significando "o que toca" "tocante") Na prática, dois círculos distintos são tangentes se eles se interceptam em somente um ponto; se eles se interceptam em zero ou dois pontos, eles não são tangentes. O mesmo vale para uma linha e um círculo. Duas linhas distintas não podem ser tangentes no plano, embora duas linhas paralelas possam ser consideradas como tangentes em um ponto no infinito na geometria inversa (veja abaixo).

The solution circle may be either internally or externally tangent to each of the given circles. An external tangency is one where the two circles bend away from each other at their point of contact; they lie on opposite sides of the tangent line at that point, and they exclude one another. The distance between their centers equals the sum of their radii. By contrast, an internal tangency is one in which the two circles curve in the same way at their point of contact; the two circles lie on the same side of the tangent line, and one circle encloses the other. In this case, the distance between their centers equals the difference of their radii. As an illustration, in Figure 1, the pink solution circle is internally tangent to the medium-sized given black circle on the right, whereas it is externally tangent to the smallest and largest given circles on the left.

Apollonius' problem can also be formulated as the problem of locating one or more points such that the differences of its distances to three given points equal three known values. Consider a solution circle of radius r_s and three given circles of radii r₁, r₂ and r₃. If the solution circle is externally tangent to all three given circles, the distances between the center of the solution circle and the centers of the given circles equal d₁ = r₁ + r_s, d₂ = r₂ + r_s and d₃ = r₃ + r_s, respectively. Therefore, differences in these distances are constants, such as d₁ − d₂ = r₁ − r₂; they depend only on the known radii of the given circles and not on the radius r_s of the solution circle, which cancels out. This second formulation of Apollonius' problem can be generalized to internally tangent solution circles (for which the center-center distance equals the difference of radii), by changing the corresponding differences of distances to sums of distances, so that the solution-circle radius r_s again cancels out. The re-formulation in terms of center-center distances is useful in the solutions below of Adriaan van Roomen and Isaac Newton, and also in hyperbolic positioning or trilateration, which is the task of locating a position from differences in distances to three known points. For example, navigation systems such as LORAN identify a receiver's position from the differences in arrival times of signals from three fixed positions, which correspond to the differences in distances to those transmitters.