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O triângulo , formado pelos centros dos triângulos equiláteros adjacentes a , é equilátero.

O teorema de Napoleão (geralmente atribuído a Napoleão Bonaparte, que o teria enunciado em 1787 e provado) enuncia que os centros de triângulos equiláteros adjacentes a um triângulo qualquer são os vértices de um triângulo equilátero. Ou seja, para um triângulo qualquer, sendo , e triângulos equiláteros e , e os respetivos centros, então é um triângulo equilátero.

Um dos corolários deste teorema é que, para um triângulo qualquer , é possível preencher um plano utilizando apenas translações e rotações de e dos triângulos equiláteros adjacentes.

Prova[editar | editar código-fonte]

Geometria analítica[editar | editar código-fonte]

Sem perda de generalidade, sejam , e .

Para qualquer triângulo equilátero de lado e área , sabe-se que

Sendo a projeção ortogonal do ortocentro do triângulo sobre , e a altura de , sabe-se que

[nota 1]

O vetor unitário perpendicular a uma dada reta é dado por

sendo ,

Sendo a altura de relativamente a , tem-se que

, e que

Sendo a altura de relativamente a , tem-se que

, e que

Notas

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