O triângulo
Δ
[
L
M
N
]
{\displaystyle \Delta [LMN]}
, formado pelos centros dos triângulos equiláteros adjacentes a
Δ
[
A
B
C
]
{\displaystyle \Delta [ABC]}
, é equilátero.
O teorema de Napoleão (geralmente atribuído a Napoleão Bonaparte , que o teria enunciado em 1787 e provado) enuncia que os centros de triângulos equiláteros adjacentes a um triângulo qualquer são os vértices de um triângulo equilátero . Ou seja, para
[
A
B
C
]
{\displaystyle [ABC]}
um triângulo qualquer, sendo
[
A
B
Z
]
{\displaystyle [ABZ]}
,
[
B
C
X
]
{\displaystyle [BCX]}
e
[
C
A
Y
]
{\displaystyle [CAY]}
triângulos equiláteros e
L
{\displaystyle L}
,
M
{\displaystyle M}
e
N
{\displaystyle N}
os respetivos centros , então
[
L
M
N
]
{\displaystyle [LMN]}
é um triângulo equilátero.
Um dos corolários deste teorema é que, para um triângulo qualquer
[
A
B
C
]
{\displaystyle [ABC]}
, é possível preencher um plano utilizando apenas translações e rotações de
[
A
B
C
]
{\displaystyle [ABC]}
e dos triângulos equiláteros adjacentes.
Sem perda de generalidade, sejam
A
(
0
,
0
)
{\displaystyle A(0,0)}
,
B
(
1
,
0
)
{\displaystyle B(1,0)}
e
C
(
x
,
y
)
{\displaystyle C(x,y)}
.
Para qualquer triângulo equilátero
[
P
Q
R
]
{\displaystyle [PQR]}
de lado
l
{\displaystyle l}
e área
A
[
P
Q
R
]
{\displaystyle A_{[PQR]}}
, sabe-se que
A
[
P
Q
R
]
=
3
4
l
2
{\displaystyle A_{[PQR]}={\tfrac {\sqrt {3}}{4}}l^{2}}
Sendo
O
′
{\displaystyle O'}
a projeção ortogonal do ortocentro
O
{\displaystyle O}
do triângulo sobre
[
P
Q
]
{\displaystyle [PQ]}
, e
h
′
=
O
O
′
¯
{\displaystyle h'={\overline {OO'}}}
a altura de
O
{\displaystyle O}
, sabe-se que
h
′
=
3
6
l
{\displaystyle h'={\tfrac {\sqrt {3}}{6}}l}
[ nota 1]
O vetor unitário
v
→
(
v
x
,
v
y
)
{\displaystyle {\vec {v}}(v_{x},v_{y})}
perpendicular a uma dada reta
P
Q
{\displaystyle PQ}
é dado por
v
→
⋅
P
Q
→
=
0
⇔
v
x
(
x
Q
−
x
P
)
+
v
y
(
y
Q
−
y
P
)
=
0
⇔
v
x
Δ
x
=
−
v
y
Δ
y
{\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {PQ}}=0\Leftrightarrow v_{x}(x_{Q}-x_{P})+v_{y}(y_{Q}-y_{P})=0\Leftrightarrow v_{x}\Delta x=-v_{y}\Delta y}
sendo
v
y
=
1
−
v
x
2
{\displaystyle v_{y}={\sqrt {1-v_{x}^{2}}}}
,
v
x
Δ
x
=
−
1
−
v
x
2
Δ
y
⇔
v
x
2
Δ
x
2
=
(
1
−
v
x
2
)
Δ
y
2
{\displaystyle v_{x}\Delta x=-{\sqrt {1-v_{x}^{2}}}\Delta y\Leftrightarrow v_{x}^{2}{\Delta x}^{2}=(1-v_{x}^{2}){\Delta y}^{2}}
⇔
Δ
x
2
Δ
y
2
=
1
−
v
x
2
v
x
2
{\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {{\Delta x}^{2}}{{\Delta y}^{2}}}={\frac {1-v_{x}^{2}}{v_{x}^{2}}}}
⇔
(
Δ
x
Δ
y
)
2
+
1
=
1
v
x
2
{\displaystyle \Leftrightarrow \left({\frac {\Delta x}{\Delta y}}\right)^{2}+1={\frac {1}{v_{x}^{2}}}}
⇔
v
x
=
1
(
Δ
x
Δ
y
)
2
+
1
{\displaystyle \Leftrightarrow v_{x}={\sqrt {\frac {1}{\left({\frac {\Delta x}{\Delta y}}\right)^{2}+1}}}}
Sendo
h
Z
{\displaystyle h_{Z}}
a altura de
Z
{\displaystyle Z}
relativamente a
[
A
B
]
{\displaystyle [AB]}
, tem-se que
h
Z
=
3
2
{\displaystyle h_{Z}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}
, e que
Z
=
(
1
2
,
−
3
2
)
{\displaystyle Z=({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}})}
Sendo
h
X
{\displaystyle h_{X}}
a altura de
X
{\displaystyle X}
relativamente a
[
B
C
]
{\displaystyle [BC]}
, tem-se que
h
X
=
3
2
(
x
−
1
)
2
+
y
2
{\displaystyle h_{X}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}}
, e que
X
=
M
[
B
C
]
+
a
→
{\displaystyle X=M_{[BC]}+{\vec {a}}}
Notas
↑
A
[
P
O
O
′
]
=
1
6
A
[
P
Q
R
]
⇔
h
′
=
3
6
l
{\displaystyle A_{[POO']}={\tfrac {1}{6}}A_{[PQR]}\Leftrightarrow h'={\tfrac {\sqrt {3}}{6}}l}