Valor principal de Cauchy

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Em Matemática, o valor principal de Cauchy, denominado a partir de Augustin Louis Cauchy, é um método de atribuir valores a certas integrais impróprias indeterminadas. O valor principal de Cauchy assume um papel fundamental no estudo das Transformadas de Hilbert.[1]

Nomenclatura[editar | editar código-fonte]

O valor principal de Cauchy admite diversas notações diferente na literatura variando conforme autores:

P.V.

Formulação[editar | editar código-fonte]

O valor principal de Cauchy é definido conforme o tipo de singularidade do integrando f:

  • Se b é uma singularidade isolada no intervalo (a,c), então define-se o valor princiapal de Cauchy em torno de b como:

sempre que este limite existe e é finito mesmo que a integral imprópria associada não existe, isto é, quando o limite duplo

não existe.

  • Se f é integrável em cada intervalo finito [-a,a], então

sempre que este limite simétrico existe e é finito, mesmo quando a integral imprópria associada não existe, isto é, quando o limite duplo

não existe.
ou
  • Em termos de integrais de contorno de uma função complexa f(z); z = x + iy, com um polo no contorno. Seja L(ε) a porção do contorno L fora do cículo de centro no polo e raio ε. O valor principal de Cauchy é definido como:[2]
onde as duas notações comuns para o valor principal de Cauchy estão presentes no lado esquerdo desta expressão.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Considere o diferente comportamento dos seguintes limites:

O primeiro é o valor principal de Cauchy de

que constitui uma integral imprópria mal definida.

Similarmente, temos

mas

O primeiro é o valor principal de Cauchy de

que constitui uma integral imprópria mal definida.

Teoria das distribuições[editar | editar código-fonte]

Seja o espaço das funções suaves de suporte compacto na reta real . Então o funcional

definido via Valor Principal de Cauchy como

é uma distribuição. Esta distribuição é um exemplo de distribuição que não pode ser expressa como uma função real ou medida de Radon[3] aparece, por exemplo, na transformada de Fourier distribucional da função de Heaviside.[4]

Este limite está bem definido não apenas para funções suaves de suporte compacto: basta que seja integrável, com suporte compacto e diferenciável na origem.

Esta distribuição é a inversa da função e é quase a única com esta propriedade, isto é:

onde é uma constante e distribuição delta de Dirac.

O conceito de valor principal de Cauchy pode ser generalizado para uma classe maior de núcleo integrais singulares, no espaço euclidiano . Se tem uma singularidade isolada na origem, mas é localmente integrável fora da origem, então a distribuição valor principal é definida nas funções suaves de suporte compacto como

Este limite pode não estar bem definido e mesmo que esteja bem definido pode não representar uma distribuição Ele está, no entanto, bem definido se é uma função homogênea de grau cuja integral sobre qualquer esfera centrada na origem é nula. Este é o caso, por exemplo, das transformadas de Riesz.


Referências

  1. Estrada, Ricardo; Kanwal, Ram (2000). Singular Integral Equations. [S.l.]: Birkhauser. ISBN 978-1461271239 
  2. Ram P. Kanwal (1996). Linear Integral Equations: theory and technique 2nd Edition ed. Boston: Birkhäuser. p. 191. ISBN 0-8176-3940-3 
  3. Terence Tao (19 de abril de 2009). «245C, Notes 3: Distributions». Consultado em 8 de julho de 2014 
  4. Hsu, Hwein (1967). Outline of Fourier Analysis. Nova Iorque: Associated Educational Services Corp. p. 141