Variação total

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Em análise matemática, define-se a variação total de uma função em um intervalo como:

As variações positiva e negativa de uma função em um intervalo são definidas, respectivamente, como:

Em todos os casos o supremo é tomado sob todas as possíveis partições do intervalo , significa para todo tal que e significa para todo tal que .

Propriedades da variação total[editar | editar código-fonte]

1. Se é um função monótona, então:

2. Se uma função real, então:

, sempre que .

3. Se e são funções reais, vale

,

4. Se uma função real, então:

,

5. Se uma função real, então:

,

Relações entre as variações total, positiva e negativa[editar | editar código-fonte]

1. .

2. .

Função de variação limitada[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma função real é de variação limitada em um intervalo se e somente se, para qualquer vale que:

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Funções crescentes em um intervalo são de variação limitada neste intervalo.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Se é um função crescente em , então .

Teorema[editar | editar código-fonte]

Uma função é de variação limitada em se, e somente se, é a diferença entre duas funções crescentes limitadas.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Se , com crescentes e limitadas, então .

Por outro lado, se é devariação limitada em , então considere e . Obviamente e são funções crescentes e limitadas. Com isto temos que

.

Relação com a diferenciabilidade[editar | editar código-fonte]

Seja uma função de classe , então:

A continuidade, no entanto, não garante que a função seja de variação limitada, um contra-exemplo é:

Esta função é contínua mas não é de variação limitada no intervalo . Para provar isso considere o seguintes pontos:

Assim

Portanto,

Relação com a integrabilidade[editar | editar código-fonte]

A seguinte integral

é bem conhecida quando temos . Além disso, é sabido que, na verdade, é suficiente exigir que seja uma função crescente. Porém, note agora que é suficiente exigir que seja um função de variação limitada, pois neste caso temos que

,

onde e são funções crescentes e limitadas.

Portanto, temos que

.

References[editar | editar código-fonte]

  • Shakarchi, Rami (2007), Real Analysis, Princeton University .