Variedade algébrica

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Uma variedade algébrica é o conjunto de zeros de uma família de polinômios, e constitui o objeto principal de estudo da geometria algébrica. Pelo conceito de variedade algébrica é possível constituir uma relação entre a álgebra e a geometria, que permite se reformular problemas geométricos em termos algébricos, e vice-versa. Tal relação é baseada principalmente no fato que um polinômio complexo em uma variável é completamente determinado em seus zeros: o teorema dos zeros de Hilbert permite de fato estabelecer-se uma correspondência entre variedade algébrica e ideal de anéis de polinômios.

Definição[editar | editar código-fonte]

Se um corpo algebricamente fechado, o anel de polinômios em com variáveis, e uma família de polinômios do anel. O subconjunto de formado dos pontos que anulam todos os polinômios de é uma variedade algébrica:

Variedades afins[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Variedade afim

Dado o corpo algebricamente fechado e um espaço afim de dimensão sobre os polinômios do anel são funções a valores em definidas sobre

Tomada uma família de polinômios o conjunto dos pontos de pelos quais as funções de são todas nulas:

é dito conjunto algébrico afim. Se não pode ser escrito como união própria de dois conjuntos algébricos semelhantes, é dita variedade afim.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Sobre as variedades afins é possível definir uma topologia natural definindo como conjuntos fechados todos os conjuntos algébricos (topologia de Zariski).
  • Dado é o ideal formato de todas as funções que se anulam sobre

Se define anel da coordenadas de o anel quociente O grau de transcendência do campo das frações de sobre é dito dimensão de
  • Um conjunto algébrico afim é uma variedade se e somente se é um ideal primo, ou se e somente se o anel das coordenadas de é um domínio de integridade.
  • Todo conjunto algébrico afim pode ser escrito de maneira única como união de variedades algébricas.

Variedade projetiva[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Variedade projetiva

É possível modificar ligeiramente a definição de variedade afim para estendê-la ao caso de um espaço projetivo sobre o corpo neste caso considera-se um conjunto formado de polinômios homogêneos (ou dos quais os monômios têm mesmo todos os grau). Com as mesmas notações obtêm-se então as definições do conjunto algébrico projetivo, variedade projetiva, topologia de Zariski e anel das coordenadas de uma variedade.

Isomorfismos de variedades algébricas[editar | editar código-fonte]

Um isomorfismo entre duas variedades algébricas e é um morfismo de variedade algébrica que é também uma correspondência biunívoca:

e são ditas isomorfas e se escreve

O isomorfismo entre variedades algébricas é uma relação de equivalência: toda a variedade algébrica isomorfa entre elas pode considerar-se como substancialmente equivalentes e são agrupadas numa única classe de equivalência dita variedade algébrica abstrata.

Variedades algébricas diferenciáveis[editar | editar código-fonte]

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(em italiano)

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