Vetor tangente

Para um tratamento mais geral - mas muito mais técnico - dos vetores tangentes, consulte o espaço tangente .

Na matemática, um vetor tangente é um vetor tangente a uma curva ou superfície em um determinado ponto. Os vetores tangentes são descritos na geometria diferencial das curvas no contexto das curvas em R ⁿ . Geralmente, vetores tangentes são elementos de um espaço tangente de uma variedade diferenciável . Formalmente, um vetor tangente no ponto $x$ é uma derivação linear da álgebra definida pelo conjunto de números em $x$ .

Motivação

Antes de prosseguir para uma definição geral do vetor tangente, discutiremos seu uso no cálculo e suas propriedades tensoras .

Cálculo

Sendo $\mathbf {r} (t)$ uma curva suave paramétrica., o vetor tangente é dado por $\mathbf {r} ^{\prime }(t)$, onde usamos um risco em vez do ponto usual para indicar diferenciação em relação ao parâmetro t . O vetor tangente unitário é dado por

$\mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(t)}{|\mathbf {r} ^{\prime }(t)|}}\,.$

Exemplo

Dada a curva

$\mathbf {r} (t)=\{(1+t^{2},e^{2t},\cos {t})|\ t\in \mathbb {R} \}$

no $\mathbb {R} ^{3}$, o vetor tangente unitário em $t=0$ é dado por

$\mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(0)}{\|\mathbf {r} ^{\prime }(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},\ -\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.$

Contra variância

Se $\mathbf {r} (t)$ é dado parametricamente no sistema de coordenadas n-dimensionais xⁱ (aqui, usamos sobrescritos como um índice em vez do habitual) $\mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))$ ou

$\mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,$

então o campo vetorial tangente $\mathbf {T} =T^{i}$ é dado por

$T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.$

Sob uma mudança de coordenadas

$u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n$

o vetor tangente ${\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}$ no sistema de coordenadas uⁱ é dado por

${\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}$

onde usamos a convenção de somatório de Einstein . Assim, um vetor tangente de uma curva suave será transformado como um tensor contravariante de ordem um sob uma mudança de coordenadas.

Definição

Deixe $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ser uma função diferenciável e deixe $\mathbf {v}$ ser um vetor em $\mathbb {R} ^{n}$ . Definimos a derivada direcional na direção $\mathbf {v}$ em um ponto $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ por

$D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.$

O vetor tangente no ponto $\mathbf {x}$ pode então ser definido como

$\mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv D_{\mathbf {v} }(f(\mathbf {x} ))\,.$

Propriedades

Deixe $f,g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ serem funções diferenciadas, vamos $\mathbf {v} ,\mathbf {w}$ ser vetores tangentes em $\mathbb {R} ^{n}$ às $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$, e deixar $a,b\in \mathbb {R}$ . Então

1. $(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)$
2. $\mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)$
3. $\mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.$ .

Vetor tangente em variedades

Deixei $M$ ser um coletor diferenciável e deixar $A(M)$ ser a álgebra de funções diferenciáveis com valor real $M$ . Então o vetor tangente para $M$ em um ponto $x$ no coletor é dado pela derivação $D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R}$ que deve ser linear — ou seja, para qualquer $f,g\in A(M)$ e $a,b\in \mathbb {R}$ temos

$D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.$

Observe que a derivação terá, por definição, a propriedade Leibniz

$D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.$

Bibliografia

• Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Boca Raton: CRC Press 
• Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Australia: Thomson/Brooks/Cole  .
• Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, New York: McGraw-Hill  .