Épsilon de máquina

Gráfico de ((1+x)-1)/x calculado em sistema de numeração do tipo 'double'. Idealmente o resultado seria 1, o gráfico mostra o efeito da perda de significância na operação (1+x) quando x é pequeno. Quando x se torna menor que o épsilon de máquina, a expressão se torna nula.

Em aritmética de ponto flutuante, denomina-se épsilon da máquina o menor número que somado a 1 produza resultado diferente de 1, ou seja, que não é arredondado. O épsilon de máquina representa a exatidão relativa da aritmética do computador, e a sua existência é uma consequência direta da precisão finita da aritmética de ponto flutuante. O valor também é chamado de unidade de arredondamento ou menor número representável, e é simbolizado pela letra grega épsilon $\epsilon$.

Definição formal

Arredondamento é o processo de escolha da representação de um número real em um sistema numérico de ponto flutuante. Para um determinado sistema numérico e um procedimento de arredondamento, o épsilon de máquina é o máximo erro relativo do procedimento escolhido.

Algumas explicações são necessárias para se determinar o valor dessa definição. Um sistema numérico de ponto flutuante é caracterizado por uma base $b$, e por uma precisão $p$, por exemplo, o número de dígitos na base $b$ da mantissa (incluindo qualquer bit implícito). Todos os números com o mesmo expoente $e$ têm o espaçamento $b^{e-(p-1)}$. O espaçamento muda nos números que são potências perfeitas de $b$; o espaçamento no lado de maior magnitude é $b$ vezes maior que o espaçamento no lado de menor magnitude.

Uma vez que o épsilon de máquina é o limite do erro relativo, é suficiente considerar números com expoente $e=0$. Também é suficiente para considerar números positivos. Para o método de arredondamento do valor mais próximo, o erro absoluto de arredondamento é no máximo metade do espaçamento, ou $b^{-(p-1)}/2$. Este valor é o maior numerador possível para o erro relativo. O denominador no erro relativo é o número sendo arredondado, que deve ser o menor possível para tornar o erro maior. O maior erro relativo, portanto, acontece quando o arredondamento é aplicado a números na forma $1+a$ onde $a$ está entre $0$ e $b^{-(p-1)}/2$. Todos esses números arredondam para $1$ com erro relativo $a/(1+a)$. O máximo ocorre quando $a$ está no limite superior do intervalo. O $1+a$ no denominador tem pouca importância, sendo deixado de fora por conveniência, e apenas $b^{-(p-1)}/2$ é tomado com o épsilon de máquina. Como foi mostrado aqui, o erro relativo é maior para números que são arredondados para $1$, então o épsilon de máquina também é chamado de unidade de arredondamento, significando simplesmente "o máximo erro que pode ocorrer quando se arredonda para o valor unitário".

Assim, o máximo espaçamento entre um número normalizado em ponto flutuante $x$, e um número normalizado adjacente é $2\epsilon$ x $|x|$.

Modelo aritmético

A análise numérica usa o épsilon de máquina para estudar os efeitos dos erros de arredondamento. Os reais erros da aritmética computacional são complexos demais para serem diretamente estudados, então, em vez disso, o seguinte modelo simplificado é utilizado. O padrão aritmético da IEEE define que todas as operações de ponto flutuante são feitas como se fosse possível executá-las com precisão infinita, e então o resultado é arredondado para um número de ponto flutuante. Suponha que (1) $x$ e $y$ são números de ponto flutuante, que (2) $\bullet$ é uma operação aritmética em ponto flutuante como adição ou multiplicação, e que (3) $\circ$ é a operação de precisão infinita. De acordo com o padrão, o computador calcula:

$x\bullet y={\mbox{round}}(x\circ y)$

Pela definição, o erro relativo do arredondamento é máximo quando igual ao épsilon da máquina, então:

$x\bullet y=(x\circ y)(1+z)$

onde $z$ em grandeza absoluta é no máximo $\epsilon$.

Como determinar o épsilon de máquina

Os valores de épsilon de máquina a seguir se aplicam a formatos padronizados de ponto flutuante:

IEEE 754 - 2008	Nome usual	Tipo de dado em C++	Base $b$	Precisão $p$	Épsilon de máquina $b^{-(p-1)}/2$	Épsilon de máquina $b^{-(p-1)}$
binary16	meia precisão	indisponível	2	11 (um bit implícito)	2 -11 = 4.88e-04	2 -10 = 9.77e-04
binary32	precisão singular	float	2	24 (um bit implícito)	2 -24 = 5.96e-08	2 -23 = 1.19e-07
binary64	precisão dupla	double	2	53 (um bit implícito)	2 -53 = 1.11e-16	2 -52 = 2.22e-16
binary80	precisão estendida	_float80	2	64	2 -64 = 5.42e-20	2 -63 = 1.08e-19
binary128	precisão quádrupla	_float128	2	113 (um bit implícito)	2 -113 = 9.63e-35	2 -112 = 1.93e-34
decimal32	precisão singular decimal	_Decimal32	10	7	5 × 10 -7	10−6
decimal64	precisão dupla decimal	_Decimal64	10	16	5 × 10 -16	10−15
decimal128	precisão quádrupla decimal	_Decimal128	10	34	5 × 10 -34	10−33

^a de acordo com Prof. Demmel, LAPACK, Scilab ^b de acordo com Prof. Higham; Padrão ISO C; constantes de linguagem C, C++ e Python; Mathematica, MATLAB e Octave

O épsilon de máquina de um sistema pode ser aproximado (a um fator de 2) pelo seguinte algoritmo em pseudocódigo:

eps=1

while (eps+1) > 1
   eps=eps/2
end

eps=eps*2

Cancelamento catastrófico

Ver artigo principal: Cancelamento catastrófico

O cancelamento catastrófico é um efeito que ocorre quando excedemos o limite de precisão do sistema de numeração, sendo caracterizado por um aumento substancial do erro relativo dos resultados. O exemplo característico desse tipo de erro é quando o resultado da subtração de dois números se aproxima do valor do épsilon de máquina.

Veja também

• Ponto flutuante, discussão geral sobre precisão em aritmética de ponto flutuante
• Propagação de erros