A ação de Einstein–Hilbert ou ação de Hilbert na relatividade geral é uma ação que torna eficiente as equações de campo de Einstein através do princípio da mínima ação. Segundo a convenção de sinal da teoria da relatividade, esta ação pode ser escrita como:[1]
![{\displaystyle S=-{1 \over 2\kappa }\int R{\sqrt {-g}}d^{4}x\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ec136ae27d1694c86004e4160b3f79b5af7724)
onde
é o determinante do tensor métrico,
é o escalar de curvatura de Ricci, e
, onde
é a constante gravitacional de Newton e
é a constante da velocidade da luz no vácuo. A integral é dada sobre o espaço-tempo.
Esta ação foi inicialmente proposta por David Hilbert em 1915.
A derivação de equações a partir de uma ação possui várias vantagens. Primeiro ele possibilita uma fácil unificação da teoria da relatividade geral com outras teorias de campo clássicas (como por exemplo a equações de Maxwell, que é também formulada em termos de ação. Neste processo a derivação de uma ação identifica um candidato natural para o acoplamento do termo fonte da métrica de campos. Segundo, a ação possibilita uma fácil identificação da energia conservada através teorema de Noether pelo estudo simétrico da ação.
Na relatividade geral, a ação é normalmente definida como uma função de campo e a conexão é dada pela conexão de Levi-Civita. O formalismo de Cartan da relatividade geral define a métrica e a conexão como sendo independentes, o que torna possível de se incluir campos de matéria fermiônica com spin não inteiros.
Suponha que toda ação da teoria seja dada pelo termo de Einstein-Hilbert mais um termo
que descreva qualquer campo de matéria que apareça na teoria.
![{\displaystyle S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\,R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42e8c9019c00f9c2c62b61006dac147ecaed0b3)
O princípio de Hamilton então indica que a variação destas ações com respeito à métrica inversa é zero, ou seja
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\delta S\\&=\int \left[{1 \over 2\kappa }{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}R)}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left({\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e51d47775902717d36b9f85c107e5cf95c2cee9)
Já que estas equação devem obedecer qualquer variação
, isto implica que
![{\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2\kappa {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343bee9f0b438813237bfeb5e6c2ea25c6b99802)
é a equação de movimento para o campo métrico. O lado direito desta equação é, por definição, proporcional ao tensor de energia-momento,
![{\displaystyle T_{\mu \nu }:={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0fefbe6e3af41abb8202ed09f6571dea2f13fa4)
Variações do tensor de curvatura, do tensor de Ricci e do escalar de Ricci[editar | editar código-fonte]
Para calcular as variações do escalar de Ricci calcula-se primeiro a variação do tensor de curvatura e a variação do tensor de Ricci. O tensor de curvatura é definido como
![{\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed4986b1d4df2354f12db00bbdf8312b37bd267)
Já que o tensor de curvatura depende apenas da conexão de Levi-Civita
, a variação do tensor de curvatura pode ser calculado como,
![{\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\delta \Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ad9adc10ae615249405e87d5340e0fa611c5f6)
Agora temos
que é a diferença de duas conexões, isto é um tensor e pode-se calcular isto como derivadas convariantes,
![{\displaystyle \nabla _{\lambda }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })=\partial _{\lambda }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })+\Gamma _{\sigma \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\sigma }\delta \Gamma _{\sigma \mu }^{\rho }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\sigma }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c972e21fcde4284f9c735e78c03598aed5d2d8ad)
Observa-se agora que a expressão da variação do tensor de curvatura acima é igual à diferença de ambos os termos,
![{\displaystyle \delta R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\nabla _{\mu }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcfce4cc8b6fb6e1100a2d1c87d223cd83021d6)
Agora pode-se obter a variação do tensor de curvatura de Ricci simplesmente pela contração dos dois índices da variação do tensor de curvatura,
![{\displaystyle \delta R_{\mu \nu }\equiv \delta R^{\rho }{}_{\mu \rho \nu }=\nabla _{\rho }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdef6d82e0640c7e2e4d20b9fe8f9684d110c658)
O escalar de Ricci é definido como
![{\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11347c4ebc131fa3fec5df2b0be812fb90029eec)
Logo sua variação com respeito a métrica inversa
é obtida por
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+\nabla _{\sigma }\left(g^{\mu \nu }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bba278bf617af1c70b7f1a07b39f059e47b8c10)
Na segunda linha utilizou-se o último resultado obtido para a variação de curvatura de Ricci e a compatibilidade métrica do convariante derivativo,
.
O último termo
é uma derivada total e pelo teorema de Stokes obtem-se,
![{\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}=R_{\mu \nu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d9384eaadb32de47c97a77b854ebe105c8c3a0)
A formula de Jacobi para diferenciação entre determinantes, nos dá:
![{\displaystyle \,\!\delta g=g\,g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe96a866df029d268129c011d574bcf9f80ec5c)
ou pode-se transformar num sistema de coordenadas, onde
é diagonal e então aplica-se o produto para se diferenciar os fatores da diagonal principal.
Então obtém-se
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\sqrt {-g}}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}\delta g&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu })&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}(g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9953e0837937475f1be098accc5893eccf75eb31)
e conclui-se que
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/791a3fa6640acd65008a25e22af414bb9763ab26)
Após se calcular todas as variações acima, pode-se inferir delas a equação de movimento para campos métricos para, obtendo-se,
![{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57772b1e5b2b060170059de96350775d4f862ca0)
que é a equação de campo de Einstein e
![{\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84041b96187448c82749df5c23e1414ce6bf7e2)
foi escolhida porque para limites não relativísticos ela respeita a lei da gravitação universal, onde G é a constante gravitacional.
Algumas vezes, uma constante cosmológica A é incluída na função de Lagrange então para a nova ação
![{\displaystyle S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df149d366a06772bcc6a33cccdb15069820c7aa0)
onde a equação de campo
![{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d898e8bc2a36b8852d72fdf26fe586852ed7d377)
Referências
- ↑ Feynman, Richard P (1995). Feynman Lectures on Gravitation (em inglês). [S.l.]: Addison-Wesley. 136 páginas. 0-201-62734-5