Fórmulas de Newton-Cotes

Fórmula de Newton-Cotes para n=2

Em Análise numérica, as Fórmulas de Newton-Cotes, também chamadas de Regras de Quadratura de Newton-Cotes, ou simplesmente Regras de Newton-Cotes, são um grupo de fórmulas para Integração numérica (também chamadas de Quadratura) baseadas na avaliação do integrante em pontos igualmente espaçados. Foram batizadas em homenagem a Isaac Newton e Roger Cotes.

As fórmulas de Newton-Cotes podem ser úteis se o valor do integrante, em pontos igualmente espaçados, é fornecido. Se for possível trocar os pontos nos quais o integrante é avaliado, então outros métodos, como Quadratura Gaussiana e Quadratura de Clenshaw–Curtis são, provavelmente, mais adequados.

Descrição

Assume-se que o valor da função ƒ, definida entre [a, b] é conhecido, em pontos x_i entre i = 0, …, n igualmente espaçados, onde x₀ = a e x_n = b. Existem dois tipos de Fórmulas Newton–Cotes, as "fechadas" que utilizam o valor da função em todos os pontos, e as "abertas", que não utilizam os valores da função nas extremidades. A fórmula de Newton–Cotes, de grau n é definida como:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i})$

Onde x_i = h i + x₀, com h (tamanho do passo) igual a (x_n − x₀) / n = (b − a) / n. Os w_i são chamados de pesos.

Como demonstrado na derivação seguinte, os pesos são derivados das bases polinomiais de Lagrange. Isto significa que eles dependem apenas de x_i e não da função ƒ. Sendo L(x) a interpolação polinomial em Lagrange para os pontos dados (x₀, ƒ(x₀) ), …, (x_n, ƒ(x_n) ), então:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}{\bigl (}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x){\bigr )}\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.$

A fórmula de Newton-Cotes aberta, de grau n é definida como:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n-1}w_{i}\,f(x_{i}).$

Os pesos são encontrados de maneira similar á fórmula fechada.

Instabilidade para graus mais elevados

Uma fórmula de Newton-Cotes de qualquer grau n pode ser construída. Porém, para n elevados, a regra de Newton-Cotes pode sofrer do Fenômeno de Runge, onde erros aumentam exponencialmente para n elevados. Métodos como a Quadratura Gaussiana e a Quadratura de Clenshaw-Curtis com pontos espaçados de maneira desigual (acumulados nas extremidades do intervalo de integração) são estáveis e muito mais precisos, e são geralmente escolhidos no lugar de Newton-Cotes. Se estes métodos não podem ser utilizados, porque o integrante é dado em uma grade igualmente distribuída, o Fenômeno de Rungue pode ser evitado utilizando a regra composta, como explicado a seguir.

Fórmula de Newton Cotes fechada

Esta tabela lista algumas das Fómulas de Newton-Cotes do tipo fechadas. A notação $f_{i}$ é a abreviação de $f(x_{i})$, com x_i = a + i (b − a) / n,, e n graus.

Fórmulas de Newton–Cotes Fechadas

Grau	Nome usual	Fórmula	Termo de erro
1	Regra do Trapézio	${\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )$
2	Regra de Simpson	${\frac {b-a}{6}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}\,f^{(4)}(\xi )$
3	Regra 3/8 de Simpson	${\frac {b-a}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}\,f^{(4)}(\xi )$
4	Regra de Boole	${\frac {b-a}{90}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {(b-a)^{7}}{1935360}}\,f^{(6)}(\xi )$

O expoente do segmento de tamanho b - a no termo de erro mostra a taxa com a qual o erro de aproximação diminui. A derivada de ƒ no termo do erro mostra que polinômios podem ser integrados exatamente (por exemplo, com erro igual a zero). Note que a derivada de ƒ no termo do erro aumenta em 2 para cada outra regra. O número $\xi$ está entre a e b.

Fórmulas de Newton Cotes Abertas

Esta tabela lista algumas das fórmulas de Newton-Cotes do tipo abertas. Novamente, 'ƒi é abreviação de ƒ(xi), com xi = a + i (b − a) / n, de n graus.

Fórmulas de Newton–Cotes Abertas

Nome usual	Tamanho do passo	Fórmula	Termo do erro	Grau
Método Retangular	${\frac {b-a}{2}}$	$(b-a)f_{1}\,$	${\frac {(b-a)^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )$	2
Método do Trapezio	${\frac {b-a}{3}}$	${\frac {b-a}{2}}(f_{1}+f_{2})$	${\frac {(b-a)^{3}}{36}}\,f^{(2)}(\xi )$	3
Regra de Milne	${\frac {b-a}{4}}$	${\frac {b-a}{3}}(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})$	${\frac {7(b-a)^{5}}{23040}}f^{(4)}(\xi )$	4
Sem nome	${\frac {b-a}{5}}$	${\frac {b-a}{24}}(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})$	${\frac {19(b-a)^{5}}{90000}}f^{(4)}(\xi )$	5

Regra Composta

Para que as regras de Newton-Coles sejam precisas, o tamanho de passo h precisa ser pequeno, o que significa que o intervalo de integração $[a,b]$, deve ser pequeno, comportamento que não se observa na maioria das vezes. Por esta razão, usualmente se realiza uma integração numérica, dividindo $[a,b]$ em subintervalos menores, aplicando a regra de Newton-Cotes em cada subintervalo, e somando os resultados. Isto é chamado de Regra composta, veja Análise Numérica.

Referências

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulae, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 4.1. Classical Formulas for Equally Spaced Abscissas», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, ISBN 978-0-521-88068-8 3rd ed. , New York: Cambridge University Press 
• Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)

Ligações externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Newton-Cotes quadrature formula», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Newton–Cotes formulae on www.math-linux.com
• Newton–Cotes Formulae^{[ligação inativa]}
• Weisstein, Eric W. «Newton-Cotes Formulae» (em inglês). MathWorld 
• Module for Newton–Cotes Integration, fullerton.edu
• Newton–Cotes Integration, numericalmathematics.com