Método do domínio fictício

Em matemática, o Método do domínio fictício é um método para encontrar as soluções de uma equação diferencial parcial em um domínio complicado $D$, substituindo um dado problema em um domínio $D$ por um novo problema em um domínio simples $\Omega$ contendo $D$

Formulação Geral

Considere uma área $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ na qual queiramos encontrar a solução $u(x)$ da equação:

$Lu=-\phi (x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in D$

com Condições de fronteira:

$lu=g(x),x\in \partial D\,$

A ideia do método do domínio fictício é basicamente substituir um problema dado em um domínio $D$, por um novo problema em um simples domínio $\Omega$ contendo $D$ ($D\subset \Omega$). Por exemplo, podemos escolher um paralelepípedo n-dimensional como $\Omega$.

Problema no domínio $\Omega$ para a nova solução $u_{\epsilon }(x)$:

$L_{\epsilon }u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \Omega$

$l_{\epsilon }u_{\epsilon }=g^{\epsilon }(x),x\in \partial \Omega$

É necessário levar o problema a uma área estendida para que as seguintes condições sejam satisfeitas:

$u_{\epsilon }(x){\xrightarrow[{\epsilon \rightarrow 0}]{}}u(x),x\in D\,$

Exemplo simples, problema unidimensional

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)$

$u(0)=0,u(1)=0\,$

Prolongamento pelos coeficientes principais

$u_{\epsilon }(x)$ solução do problema:

${\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0<x<2\quad (2)$

O coeficiente descontínuo $k^{\epsilon }(x)$ e o lado direito da equação anterior obtemos das expressões:

$k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}$

$(3)$

$\phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}$

Condições de fronteira:

$u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(1)=0$

Condições de conexão no ponto $x=1$:

$[u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0$

onde $[\cdot ]$ significa:

$[p(x)]=p(x+0)-p(x-0)\,$

A equação (1) tem solução analítica portanto podemos facilmente obter o erro:

$u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1$

Prolongamento por coeficientes de ordem mais baixa

$u_{\epsilon }(x)$ solução do problema:

${\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),\quad 0<x<2\quad (4)$

Onde $\phi ^{\epsilon }(x)$ pegamos como em (3), e a expressão para $c^{\epsilon }(x)$

$c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}$

como condições de fronteira para a equação (4) assim como para (2).

Condições de conexão do ponto $x=1$:

$[u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0$

Erro:

$u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1$

Literatura

• P.N. Vabishchevich, The Method of Fictitious Domains in Problems of Mathematical Physics, Izdatelstvo Moskovskogo Universiteta, Moskva, 1991.
• Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Preprint CC SA USSR, 68, 1979.
• Bugrov A.N., Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Mathematical model of fluid flow, Novosibirsk, 1978, p. 79–90