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O cosseno hiperbólico é uma função hiperbólica, assim chamadas pois a parametrização de curvas em cosh e senh originam hipérboles, enquanto que as funções trigonométricas dão origem a circunferências. Sua fórmula é a seguinte:[1]
![{\displaystyle \cosh(bt)={e^{bt}+e^{-bt} \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590fb9a839e60ebcb815f0e6d39c7183035d37ca)
Tal função é obtida a partir da representação da função
da seguinte forma:
![{\displaystyle e^{x}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}+{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9be06374c145e92c9575f78758d76bc8ee9cf28)
em que o primeiro termo é o cosseno hiperbólico e o segundo termo é o seno hiperbólico.
O gráfico da função cosseno hiperbólico é a catenária.[2]
Estendendo-se o conceito de cosseno para o corpo dos números complexos através da Série de Taylor, verificam-se as seguintes equivalências:
![{\displaystyle \cosh(t)=\cos(it)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48e3cc41998a19b953eab8650c045e3071ed05d1)
![{\displaystyle \cos(t)=\cosh(it)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae17a0a3595ca44d84fc26f5d67ad3515e0598ad)
Onde i é a unidade imaginária.
Relações importantes (para t real):[3]
Demonstração da relação 3:
![{\displaystyle \cosh ^{2}(t)-\operatorname {senh} ^{2}(t)=\left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}}\right)-\left({\frac {e^{2t}-2+e^{-2t}}{4}}\right)={\frac {4}{4}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829d352eeb68ee90ac7f0daa153108d545b2832c)
Referências